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苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算备课课件ppt
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9.2.2 向量的数乘学 习 任 务核 心 素 养1.掌握向量数乘的运算及其几何意义.(重点) 2.理解两个向量共线的含义,掌握向量共线定理.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.通过向量数乘概念的学习,培养数学抽象素养.2.通过向量数乘的运算及其运算律的应用,培养数学运算素养.一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a,那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示?是-3a吗? 知识点1 向量的数乘定义一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)若a≠0,则当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反.实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘.特别地,当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0.向量的数乘λa的几何意义:当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小.1.λa=0,一定能得到λ=0吗?[提示] 不一定.λa=0,则λ=0或a=0.1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)a=0,则λa=0. ( )(2)对于非零向量a,向量-3a与向量3a方向相反. ( )(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√知识点2 向量数乘的运算律设a,b为向量,λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.2.(1)5×(-4a)=________.(2)a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则a+b=________.(1)-20a (2)4e1 [(1)5×(-4a)=5×(-4)a=-20a.(2)a+b=(e1+2e2)+(3e1-2e2)=4e1.]知识点3 向量共线定理一般地,对于两个向量a(a≠0),b,设a为非零向量,如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.2.向量共线定理中,为什么规定a≠0.[提示] 当a=0时,显然b与a共线,此时若b=0,则存在无数实数λ,使b=λa;若b≠0,则不存在实数λ使得b=λa.3.已知e1和e2不共线,则下列向量a,b共线的序号是____.①a=2e1,b=2e2;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-e2,b=e1-e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.②③ [∵e1与e2不共线,∴①不正确;对于②有b=-2a;对于③有a=4b;④不正确.] 类型1 向量数乘的基本运算【例1】 计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);(2)-;(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).[解] (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.(2)原式=-=a+b-a-b-a-b-a=0.(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知量,利用解代数方程的方法求解.[跟进训练]1.若向量a=3i-4j,b=5i+4j,则-3+(2b-a)=________.-16i+ j [原式=a-b-3a-2b+2b-a=-a-b=-(3i-4j)-(5i+4j)=(-11-5)i+ j=-16i+j.] 类型2 向量的共线问题【例2】 已知非零向量e1,e2不共线. (1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.1欲证A,B,D三点共线,能否证明与或共线?2若ke1+e2与e1+ke2共线,则两向量间存在怎样的等量关系?[解] (1)证明:∵=e1+e2,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,∴,共线,且有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有∴k=±1.1.证明三点共线,通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线,向量共线定理是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线,则向量,,在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系.而向量共线定理是实现线性关系的依据.[跟进训练]2.(对接教材P19T11)已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.[解] (1)证明:∵=λ+(1-λ),∴=λ+-λ,-=λ-λ,∴=λ(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).又与有公共点A,∴A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则与同向,∴||>||>0,∴λ>1. 类型3 向量的表示【例3】 如图所示,已知△OAB中,点C是以A为对称中心的B点的对称点,D是把分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,;(2)若=λ,求实数λ的值.[解] (1)依题意,A是BC中点,∴2=+,即=2-=2a-b,=-=-=2a-b-b=2a-b.(2)若=λ,则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b.∵与共线,∴存在实数k,使=k,∴(λ-2)a+b=k,解得λ=.用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中;(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理,用已知向量表示未知向量;(3)求解过程体现了数学上的化归思想.[跟进训练]3.(1)设O是△ABC内部一点,且+=-3,则△AOB与△AOC的面积之比为________.(2)如图,在▱OADB中,设=a,=b,=,=.试用a,b表示=________.(1) (2)a-b [(1)如图,由平行四边形法则,知+=,其中E为AC的中点.所以+=2=-3.所以=-,||=||.设点A到BD的距离为h,则S△AOB=||·h,S△AOC=2S△AOE=||·h.所以===×=.(2)由题意知,在▱OADB中,===(-)=(a-b)=a-b.则=+=b+a-b=a+b,==(+)=(a+b)=a+b,=-=a+b-a-b=a-b.]1.已知线段上A,B,C三点满足=2,则这三点在线段上的位置关系是( )A BC D[答案] A2.(多选题)若=4,则下列各式中正确的是( )A.=3 B.=3C.= D.=BCD [由=4可知=-=-4=-3=3,故A错误,B正确;同理可知=,=,故选BCD.]3.已知m∈R,下列说法正确的是( )A.若ma=0,则必有a=0B.若m≠0,a≠0,则ma与a方向相同C.m≠0,a≠0,则|ma|=m|a|D.若m≠0,a≠0,则ma与a共线D [A错.若ma=0,则m=0或a=0;B错.m>0时,ma与a同向,m<0时,ma与a反向;C错.∵|ma|=|m||a|,∴m>0时,|ma|=m|a|;m<0时,|ma|=-m|a|.]4.△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,且=a,=b,则=________(用a,b表示).(b-a) [=-=-=(b-a).]5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是________.等腰梯形 [∵=5e,=-7e,∴=-,∴与平行且方向相反,易知||>||.又∵||=||,∴四边形ABCD是等腰梯形.]回顾本节知识,自我完成以下问题:1.如何描述向量λa的大小、方向?[提示] 向量λa的大小为:|λa|=|λ||a|;向量λa的方向与实数λ有关:当λ>0时,λa的方向与a相同;当λ=0时,λa的方向具有任意性;当λ<0时,λa的方向与a相反.2.若=x+y,则A,B,P三点共线的充要条件是什么?[提示] x+y=1.3.若向量a,b共线,且a≠0,则a与b存在怎样的等量关系?[提示] b=λa,其中λ是唯一确定的实数.
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