苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示集体备课课件ppt

第2课时　向量数量积的坐标表示

知识点1　平面向量数量积的坐标运算

若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝(　　)

A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5

B　[∵a＝(1，－1)，b＝(2，3)，

∴a·b＝1×2－3＝－1．]

2．已知a＝(－2，x)，b＝(0，1)，若a·b＝3，则x＝___．

3　[∵a＝(－2，x)，b＝(0，1)，∴a·b＝x＝3．]

知识点2　向量的长度、夹角、垂直的坐标表示

(1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝．

(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝＝ ．

特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b．

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？

[提示]　∵＝－＝(x2－x1，y2－y1)，

∴||＝．

3．已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．

5　　[∵a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3，∴cos θ＝＝＝－，

又θ∈[0，π]，∴θ＝．]

4．已知a＝(3，1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝____．

　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝．]

类型1　数量积的坐标运算

【例1】　已知a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：

(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c．

[解]　(1)a·b＝1×2＋3×5＝17．

(2)∵a＋b＝(3，8)，

2a＋b＝(4，11)，

∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100．

(3)(a·b)·c＝17c＝(34，17)．

利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.

[跟进训练]

1．已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．

(1)求a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．

[解]　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4)．

(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，

∴a·(b·c)＝0·a＝0，

(a·b)·c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．

类型2　向量的夹角

【例2】　已知A(2，－2)，B(5，1)，C(1，4)，求∠BAC的余弦值．

[解]　∵＝(5，1)－(2，－2)＝(3，3)，

＝(1，4)－(2，－2)＝(－1，6)，

∴·＝3×(－1)＋3×6＝15．

又||＝＝3，

||＝＝，

∴cos∠BAC＝＝＝．

已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a·b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.

[跟进训练]

2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．

120°　[∵a·b＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，

∴c·a＝－．

设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－．

又θ∈[0°，180°]，

∴θ＝120°．]

类型3　向量垂直的综合应用

【例3】　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||．

[解]　法一：设点D坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，

∵D在直线BC上，即与共线，

∴存在实数λ，使＝λ，

即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，

∴

∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．①

又∵AD⊥BC，

∴·＝0，

即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，

即2x＋y－3＝0．②

由①②可得即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，

∴||＝＝，即||＝．

法二：在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，

所以＝(－6，－3)，＝(1， 3)．

与垂直的一个向量＝(－3，6)，所以||＝3，·＝15．

向量在上的投影向量＝(||cos θ )(其中θ为和的夹角)，

所以||＝＝＝＝．

向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．

(1)与向量a＝(x，y)垂直的一个向量可以设为b＝(y，－x)；

(2)求△ABC中BC边上的高AD，可以先求出与垂直的一个向量，再求出(或)在上的投影向量的模，就是高AD的大小．

[跟进训练]

3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，·＝－，则·的最小值为(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

D　[由题意知＝．设∠DAB＝θ，

∴·＝(＋)·(－)＝·－2＋·－·＝4cos θ－4＋－cos θ＝－，

∴cos θ＝，

∴θ＝．

以AC与BD交点为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－，0)，E．

设F(0，t)，则＝(，t)，

＝，

∴·＝－2＋t＝t2＋t－2．

∴当t＝－时，(·)min＝－－2＝－．]

1．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b|   B．a·b＝

C．a－b与b垂直   D．a＋b与b垂直

C　[由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝＋＝1≠0，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．]

2．若a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|＝(　　)

A．  B．

C．2  D．2

C　[由已知得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，∴a·b＝0，∴(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴|2a－b|＝2，故选C．]

3．向量m＝(x－5，1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________．

4　[4(x－5)＋x＝0，

∴x＝4．]

4．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．

　[cos θ＝

＝＝－，

又θ∈[0，π]，

∴θ＝．]

5．若向量a＝(1，3)，b＝(－x，－1)的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．

　[∵向量a＝(1，3)，b＝(－x，－1)的夹角为钝角，∴a·b<0，且两个向量不是反向共线的向量，∴1×(－x)＋3×(－1)<0，解得x>－3，而当x＝时，两向量反向共线，故实数x的取值范围为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则其坐标间满足什么等量关系？与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示出来吗？

[提示]　a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示为(y1，－x1)．

2．应用平面向量数量积的坐标运算可以解决哪些常见问题？

[提示]　(1)求平面向量的数量积；

(2)解决向量模的问题；

(3)解决向量的夹角与垂直问题．

特别是求已知三角形的高的问题，两种思路：方程思想求垂足坐标；利用投影向量的模．