高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数课文配套课件ppt

10.1.2　两角和与差的正弦

知识点　两角和与差的正弦公式

(1)两角和的正弦公式：

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．

(2)两角差的正弦公式：

S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．

(3)辅助角公式

asin x＋bcos x＝，

令cos φ＝，sin φ＝，则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°． (　　)

(2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝． (　　)

(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (　　)

(4)sin 54° cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°． (　　)

[提示]　(1)公式错误．

(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin 90°＝1．

(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．

(4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°

＝sin(54°－24°)＝sin 30°．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．sin ＝________．

　[原式＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝．]

3．sin 15°＋cos 15°＝________．

　[原式＝cos 30°sin 15°＋sin 30°cos 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝．]

类型1　两角和与差的正弦公式的简单应用

【例1】　求下列各式的值：

(1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；

(2)．

1从角和“形”入手，转化成两角和差的正弦求值.

2注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.

[解]　(1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°)

＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133°

＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝．

(2)原式＝

＝＝＝1．

1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：

(1)化为特殊角的三角函数值；

(2)化为正负相消的项，消去求值；

(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．

2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．

提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．

[跟进训练]

1．求下列各式的值：

(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；

(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．

[解]　(1)sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°

＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝．

(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝．

(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)

＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)

＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0．

类型2　给值求值

【例2】　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值．

注意－＝＋α＋β，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求cosα＋β.

[解]　由0＜β＜，＜α＜得

－＜－α＜0，＜＋β＜π．

∴cos＝－，sin＝－，

cos(α＋β)＝sin

＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝－．

解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来

1当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.

2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

3角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.

[跟进训练]

2．已知α，β是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值．

[解]　∵α是锐角，且sin α＝，

∴cos α＝＝＝．

又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，

∴sin(α＋β)＝＝．

∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝．

类型3　形如asin x＋bcos x的函数的化简及应用

【例3】　(对接教材P54探究)已知函数f(x)＝2sin－2cos x，x∈，求函数f(x)的值域．

等式asin x＋bcos x＝Asinx＋φ中A和φ一定存在吗？它们与a，b有什么关系？

[解]　f(x)＝2sin－2cos x

＝sin x－cos x＝2sin，

∵≤x≤π，

∴≤x－≤．

∴≤sin≤1．

∴函数f(x)的值域为[1，2]．

此类问题的求解思路如下：

首先将函数fx化简为fx＝asin x＋bcos x的形式；,然后借助辅助角公式化fx为fx＝sinx＋φ的形式；

最后，类比y＝sin x的性质，树立“x＋φ”的团体意识研究y＝fx的性质.

[跟进训练]

3．求函数y＝cos x＋cos的最大值和最小值．

[解]　y＝cos x＋cos

＝cos x＋cos xcos －sin xsin

＝cos x＋cos x－sin x

＝cos x－sin x

＝＝cos，

当x＋＝2kπ，k∈Z时，ymax＝×1＝；

当x＋＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝×(－1)＝－．

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

A　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°

＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝．]

2．sin －cos ＝________．

－　[原式＝2

＝2

＝2sin

＝－2sin ＝－．]

3．＝________．

　[原式＝

＝＝sin 30°＝．]

4．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则sin＝________．

－　[由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，

因为β－∈，

所以cos＝－，

sin＝sin

＝sin(α＋β)cos－cos(α＋β)sin

＝－．]

5．若函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)的最小正周期为________；f(x)的值域为________．

π　[－1，1]　[因为f(x)＝sin＋cos＝sin 2xcos＋cos 2xsin＋cos 2xcos －sin 2xsin

＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x

＝cos 2x．

所以T＝＝π．

又因为cos 2x∈[－1，1]，

所以f(x)∈[－1，1]．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．本堂课主要学习了哪几个公式？

[提示]　(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝．

2．应用上述公式可以解决三角函数式的哪些问题？

[提示]　可以利用上述公式解决三角函数式的化简求值以及研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质等问题．