苏教版高中数学必修第二册第10章章末综合提升课件+学案

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类型1　求值问题三角函数求值主要有三种类型(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例1】　已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈．求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[解]　(1)因为α，β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝．(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝．[跟进训练]1．已知sinsin＝，α∈，求的值．[解]　∵sinsin＝，∴sincos＝，sin＝，即cos 2α＝．又α∈，∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－＝－＝－．∴＝＝＝－． 类型2　化简与证明三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【例2】　求证：＝．[证明]　证明原不等式成立，即证明1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ．∴＝．[跟进训练]2．化简：．[解]　原式＝＝＝＝＝＝＝＝2． 类型3　三角恒等变换与三角函数的综合问题三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．【例3】　已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．[解]　(1)f(x)＝cos x·－cos2x＋＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x＝sin．∴f(x)的最小正周期T＝＝π．(2)∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－1≤sin≤，∴－≤f(x)≤，∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－．[跟进训练]3．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈．(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．又x∈，从而sin x＝，所以x＝．(2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1．所以f(x)的最大值为． 类型4　转化化归思想在三角恒等变换中的应用在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．【例4】　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[解]　∵tan α＝＞0，∴α∈，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝＝＝＞0，∴2α∈，又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)，∴β∈，∴tan(2α－β)＝＝＝1，又∵2α∈，β∈，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π．[跟进训练]4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．[解]　∵＜α＜，0＜β＜，∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－，∴sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－＝－＝．1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)A．  B．  C．  D．A　[∵3cos 2α－8 cos α＝5，∴3(2 cos2α－1)－8cos α＝5，∴6cos2 α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－．∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝．故选A．]2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)A．－2  B．－1  C．1  D．2D　[由已知得2tan θ－＝7，得tan  θ＝2．]3．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)A．  B．  C．  D．B　[∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B．]4．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin 2α的值是________．　[∵sin2＝＝＝，∴sin 2α＝．]5．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解]　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α．因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－．因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．