苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系课文内容课件ppt

13.2　基本图形位置关系

13.2.1　平面的基本性质

知识点1　平面的概念及表示

(1)平面的概念

平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．

(2)平面的表示方法

①图形表示

平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)．

②字母表示

平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．

(3)点、线、面位置关系的符号表示

1．(多选题)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为(　　)

A．平面MN  B．平面NQP  C．平面α  D．平面MNPQ

BCD　[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN．]

知识点2　平面的基本事实

(1)平面的基本事实

①基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．

②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

用符号表示为：⇒AB⊂α．

③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

用符号表示为：⇒α∩β＝l且P∈l．

 (2)基本事实的推论

①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．下列说法正确的是(　　)

A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

D　[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．

B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

C错误，四边形不一定是平面图形．

D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]

类型1　三种语言的转换

【例1】　(1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

①　　　　　　　　　②

(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形．

[解]　(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m．

②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O．

(2)符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，

平面ABC∩平面ADC＝AC．

图形表示如图．

1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．

3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[跟进训练]

1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．

(1)　　　　　　　　　(2)

图(1)可以用几何符号表示为________________．

图(2)可以用几何符号表示为________________．

[答案]　(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b

(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l

类型2　点线共面问题

【例2】　已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．

[证明]　如图．

法一：∵a∥b，

∴a，b确定平面α．

又∵l∩a＝A，l∩b＝B，

∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α．

∴a，b，l共面．

同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．

故a，b，c，l共面．

法二：∵a∥b，

∴过a，b确定平面α，

又∵A∈a，B∈b，

∴AB⊂α，即l⊂α．

又∵b∥c，

∴过b，c确定平面β，

而B∈b，C∈c，

∴BC⊂β，即l⊂β．

∴b，l⊂α，b，l⊂β，而b∩l＝B，

∴α与β重合，故a，b，c，l共面．

证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

确定一个平面的方法有：

①直线和直线外一点确定一个平面；

②两条平行线确定一个平面；

③两条相交直线确定一个平面．

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．

[跟进训练]

2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

[解]　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．

又∵l2⊂α，∴B∈α．同理可证C∈α．

又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α．

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

法二：∵l1∩l2＝A，

∴l1，l2确定一个平面α．

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β．

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α．

∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β．

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

类型3　共线共点问题

【例3】　如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．

[证明]　∵E，G分别为BC，AB的中点，

∴GE∥AC，GE＝AC．

又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，

∴FH∥AC，FH＝AC．

∴FH∥GE，FH≠GE．

∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O．

∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，

∴O在这两平面的交线上．

而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，

∴点O在直线BD上．

∴EF，GH，BD交于一点．

证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由基本事实3完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上.

[跟进训练]

3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O．求证：O，B，C三点共线．

[证明]　如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC．

∴O为平面BC1与平面AC的公共点．

又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，

即O，B，C三点共线．

1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数是(　　)

①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；

③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α．

A．1  B．2  C．3  D．4

D　[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．]

2．(多选题)下列命题正确的是(　　)

A．梯形一定是平面图形

B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行

C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

AC　[对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．故选AC．]

3．下列图形中不一定是平面图形的是(　　)

A．三角形   B．菱形

C．梯形   D．四边相等的四边形

D　[四边相等的四边形可能四边不共面．]

4．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________．

3　[当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]

5．如图所示，用符号可表达为________．

α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A　[由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．任何三点都可以确定一个平面吗？

[提示]　不是，只有不共线的三点，才可以确定一个平面．

2．如何证明一条直线在一个平面内？

[提示]　只要证明直线l上的任意两点在此平面内即可．

3．证明三点共线的常用方法有哪些？

[提示]　方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事件3可知，这些点都在两个平面的交线上；

方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．