湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高二上学期期中质量检测数学试题（含答案）

2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二年级第一学期期中质量检测数学试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.     某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为(    )
    

A. 3 B. 6 C. 7 D. 9

2.     已知直线与直线垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.     笼子中有1只鸡和2只兔子，从中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出．如果将2只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第二只被取出的动物的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知四棱锥，底面 ABCD为平行四边形， M， N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为(    )
    

A.  B.
C.  D.

5.     已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，过的直线l：与椭圆C交于A，B两点，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知直线l经过，且是l的方向向量，则点到直线l的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，，且，若点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9.     中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况．如图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是(    )

A. 2019年全年仓储业务量指数的极差为
B. 两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高
C. 两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年
D. 2019年仓储业务量指数的中位数为

10. 已知曲线E的方程为，则(    )

A. 曲线E关于直线对称
B. 曲线E围成的图形面积为
C. 若点在曲线E上，则
D. 若圆能覆盖曲线E，则r的最小值为

11. 已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则(    )

A.  B. 的最小值为2
C. 直线BE的斜率为 D. 为钝角

12. 已知三棱柱为正三棱柱，且，，D是的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是(    )

A. 正三棱柱外接球的表面积为
B. 若直线与底面所成角为，则的取值范围为
C. 若，则异面直线与所成的角为
D. 若过且与垂直的截面与交于点E，则三棱锥的体积的最小值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求甲乙丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为__________.
14. 如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是__________.
     

15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与x轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为__________.
16. 以三角形边为边向三角形外作正三角形，，，则三线共点，该点称为的正等角中心.当的每个内角都小于时，正等角中心点P满足以下性质：

正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点即费马点，由以上性质得的最小值为__________.

四、解答题（本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；

现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

18. 已知圆C经过点，与直线相切，且圆心C在直线上

求圆C的方程；

已知直线l经过点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

19. 如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

 证明：平面PBE；

求点F到平面PBE的距离．

20. 我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。

从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

21. 如图1，已知正方形ABCD的边长为2，分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上包含端点运动，连接

若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面

是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为？若存在，求此时平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由

22. 已知椭圆C：经过点，离心率为

求椭圆C的标准方程；

设椭圆C的左、右两个顶点分别为，，T为直线l：上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：初中部人数与高中部人数比例，
分层抽样抽取25人进行优质课展示，则高中教师人数为，
因为高中男教师占高中教师的比例为，
所以应抽取高中部男教师的人数为 

  2.【答案】D 

【解析】解：直线与直线互相垂直，

，解得故选  

3.【答案】A 

【解析】解：把1只鸡记为，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，
则从笼中依次随机取出一只动物，直到3只动物全部取出，共有如下6种不同的取法：
，，，，，，
其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有2种不同的取法.
则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率

  4.【答案】D 

【解析】解：因为 ， ，所以 ， ，

所以 

  

5.【答案】A 

【解析】解：由题意可得，，则直线l：，
联立整理得，
设A，B两点纵坐标分别为，，则，，
从而因为，所以的面积是  

6.【答案】B 

【解析】解：由题设，则，，
所以，，而，故P到l的距离为，

  7.【答案】A 

【解析】解：由已知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为，
设，则，所以，，

由椭圆定义，即

又，，所以

因此点A为椭圆短轴的端点，不妨设为上顶点，设其坐标为

由，可得点B的坐标为，

因为点B在椭圆上，所以

解得又，所以所以椭圆方程为

  8.【答案】C 

【解析】解：由题意可得圆是关于P，Q的阿波罗尼斯圆，
且，则，
设点Q的坐标为，则，
整理得，，
由已知该圆的方程为，则，解得，
点Q的坐标为，，
由图象可知，当点M位于或时取得最小值，
且最小值为故选：

  9.【答案】AC 

【解析】解：2019年全年仓储业务量指数3月份最高为，2月份最低为，所以极差为，A正确;
2019年以及2020年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，所以两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，B错误;
由折线图可知两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年，故C正确;
2019年仓储业务量指数按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，，，所以中位数为，故D错误.
故选  

10.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，曲线E上任意点关于直线的对称点为，都满足，即曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，A正确;
对于B，因点在曲线E上，点，也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称，
当，时，曲线E的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆含端点，
因此，曲线E是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，

所以曲线E围成的图形面积是，B正确;
对于C，点在曲线E上，则等价于，
则有，即，解得，C正确;
对于D，曲线E上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线E，则，D不正确.

11.【答案】AC 

【解析】解：对于A，设椭圆C的右焦点为，连接，，

则四边形为平行四边形，
，A正确；
对于B，  ，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，设，则，，
故直线BE的斜率，故C正确；
对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
则，
点P和点A在椭圆C上， ①， ②，
①-②得，，B，E三点共线，
，则，得，
，，故D错误．

  12.【答案】AD 

【解析】解：因为外接圆的半径，，
所以正三棱柱外接球的半径，所以其表面积为，故A项正确；
取BC的中点F，连接DF，AF，BD，，由正三棱柱的性质可知平面平面ABC，
所以当点P与重合时，最小，当点P与D重合时，最大，所以，故B项错误；
将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，

则或其补角为异面直线AP与所成的角，
易得，，
所以，故C项错误；
因为，
所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，
设BC的中点为F，作出截面如图所示：

因为，所以点E在以AF为直径的圆上，
所以点E到底面ABC距离的最大值为，
所以三棱锥的体积的最小值为，故D项正确.
故选  

13.【答案】 

【解析】解：因为甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，
所以甲、乙2人均购买不到冰墩墩的概率

同理，丙购买不到冰墩墩的概率

所以，甲、乙、丙3人都购买不到冰墩墩的概率，
于是甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率

  14.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形法则可得，
所以

，
所以故答案为

  15.【答案】 

【解析】解：由椭圆焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为
，，
由，代入椭圆方程可得，
可设，，
因为，即，所以，
，
即，，
可得：，，
代入椭圆方程可得，，，
由，整理得：，，由椭圆的离心率

  16.【答案】 

【解析】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
 

则表示坐标系中一点到点A、B、C的距离之和，

因为是等腰三角形，，

所以点在x轴负半轴上，所以与x轴重合，

令的费马点为，则P在上，则，

因为是锐角三角形，由性质得，

所以，所以，所以，

到A、B、C的距离分别为，，

所以的最小值，

即为费马点P到点A、B、C的距离之和，则

故答案为：

  17.【答案】解：设这m人的平均年龄为，则

岁

设第80百分位数为a，

方法一：由，解得

方法二：由，解得

由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙.
对应的样本空间为：，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有9个样本点.

所以， 

18.【答案】解：因为圆心 C在直线上，可设圆心为

则点C到直线的距离 

据题意，，则， 解得     

所以圆心为，半径， 则所求圆的方程是     

直线l被圆C截得的弦长为2，则，

即圆心到直线l的距离为1，

直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 

直线斜率k存在时，设直线方程为，

圆心到直线的距离，，

直线方程为   

综上所述，直线方程为或 

19.【答案】证明：取PB的中点G，连接EG、FG，

则，且

且，且，

四边形DEGF为平行四边形，，

又平面PBE，平面PBE，

平面PBE；    

解：由知，平面PBE，

点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，

故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，

利用等体积法：，

即，

，

，，

20.【答案】解：用 a， b分别表示“选择物理”“选择历史”，用 c， d， e， f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间，

，  

设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则，

，                      

设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，

由题意知事件，，相互独立

由知

记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则     

易知事件，，两两互斥，

根据互斥事件概率加法公式得

21.【答案】解：因为直线平面 ABFE，故点 O在平面 ABFE内，也在平面 ADE内，

所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线即直线上，延长EA，FM交于点O，

连接OD，如图所示．

因为，M为AB的中点，所以≌，

所以，

故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为

连接DF，交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，

所以N是EC的中点．

连接MN，则MN为的中位线，所以，

又平面EMC，平面EMC，所以直线平面

如图，由已知可得，，又，所以平面ADE，

由于平面ABFE，所以平面平面

易知为等边三角形，取AE的中点H，连接DH，则，根据面面垂直的性质定理可知：平面

以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，

设，则

设平面EMC的法向量为，

则，即，

取，则为平面EMC的一个法向量．

要使直线DE与平面EMC所成的角为，

则，

即，解得或

所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为

取ED的中点Q，连接QA，则QA为平面ECF的一个法向量，，，所以

所以可设平面ECF的一个法向量为

设平面MEC与平面ECF的夹角为，

当时，，

，

当时，，

，

综上，平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值为

22.【答案】解：有题意可知，解得，

椭圆C的标准方程为

证明：由题意可知，，，

设，，如图所示，

直线的方程为，直线的方程为，

联立方程，消去y得，

，即，                  

则，

，

联立方程，消去y得，

，即，

则，

，                               

，

直线MN的方程为，      

即，，

故直线MN过定点，                         

所以的周长为定值8，

当时，，或，， 

过焦点，此时的周长为定值，     

综上所述，的周长为定值