山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

这是一份山西省吕梁市孝义市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，直线，是分别经过A，已知过抛物线C，过圆上的动点作圆C，已知双曲线，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
高二年级2022~2023学年期中考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．4.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则集合（    ）A.{－2，2}   B. {0，2，3}   C.{0，2}  D.{2}2.抛物线的准线方程为（    ）A.  B.  C.  D.3.过点（2，1）的等轴双曲线的标准方程为（    ）A.  B.  C.  D.4.设，为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则的周长是（    ）A. 8   B. 16   C. 2  D. 45.直线，是分别经过A（2，1），B（0，－3）两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（    ）A.  B.  C.  D.6.已知过抛物线C：的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则p＝（    ）A. 2   B.3   C. 6   D． 67.过圆上的动点作圆C：的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为（    ）A.3π   B.  C.  D.48.已知双曲线：的右焦点为F（c，0）（c＞0），M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆B：相切于点D，且，则双曲线的逝近线方程为（    ）A.   B.  C.  D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数，则（    ）A.复数z的实部为   B.复数z的虚部为C.复数z的模为   D.复数z的共轭复数为10.已知方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ）A.“”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件B.“”是“曲线C为椭圆”的充要条件C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则11. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝4，且，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则（    ）A.       B.C.四棱锥P－ABCD的体积为4  D.三棱锥P－BCD的外接球的半径为12.已知函数，函数，则（    ）A.函数f（x）的值域为（0，＋∞）B.存在实数m，使花C.若恒成立，则实数m的取值范围为D.若函数g（x）恰好有5个零点，则函数g（x）的5个零点之积的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线：与：垂直，则a＝        ．14.在平面直角坐标系xOy中，圆：被直线截得的弦长2，则实数a的值为        ．15.在底面边长为2的正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为        ．16.已知椭圆C的左、右焦点分别为，，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为        ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，BC边上的高为，求b，c．18.（本小题满分12分）已知抛物线：经过点P（a，a）（a为正数），F为抛物线的焦点，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，求点M的轨迹方程．19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，底面边长为，D为BC的中点，点E在棱上，且．（1）证明：⊥平面ADE；（2）求平面ADE与平面的夹角的大小．20.（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点（，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点O作直线AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求线段AB的长度．21.（本小题满分12分）已知圆T过点A（1，3），B（3，1），C（2，）．P是圆T外的一点，过点P的直线l交圆T于M，N两点．（1）求圆T的方程；（2）若点P的坐标为（0，－4），探究：无论直线l的位置如何变化，|PM|·|PN|是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）已知圆T与圆W：相交，求实数a的取值范围．22.（本小题满分12分）已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，直线l与双曲线C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．   高二年级2022~2023学年期中考试·数学参考答案、提示及评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【解析】由，解得，所以集合，所以．故选C．2.【答案】D【解析】抛物线的标准方程为，可知，所求准线方程为．故选D．3.【答案】A【解析】设双曲线的方程为代入点（2，1）的坐标，有·故所求双曲线的方程为标准方程为．故选A．4.【答案】B【解析】由椭圆的定义可知，则的周长为，故选B．5.【答案】A【解析】由题意可得，间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由于AB的斜率为，故直线的斜率为－．故它的方程是，化简为，故选A．6.【答案】C【解析】抛物线C：的焦点，准线，过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连接PF，如图，于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连接，则有，当且仅当点与点P重合且为O时取等号，所以的最小值为p＝6，故选C．7.【答案】B【解析】设圆的动点为P（m，n），过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则过点P，A，B的圆是以PO直径的圆，该圆的方程为由可得AB的直线方程为．原点到直线的距离为，故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的周长为π，故选B．8.【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，画图有由，可知，又由，可知，有，在中，得故双曲线的渐近线方程为，故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】ACD【解析】复数，故z的实部为，虚部为，．故选ACD．10.【答案】AD【解析】对于A选项，若方程表示的曲线为双曲线，则，解得或，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件，故选A正确；对于B选项，若曲线C表示为椭圆，则，可得且，故选项B错误；对于C选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，，可得，故选C错误；对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，可得，故选项D正确，故选AD．11.【答案】BCD【解析】因为底面ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝2，且，，所以，以D为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．设）是平面PAC的法向量，因为，则，令，得．、设点D到平面PAC的距离为d，因为所以，解得．故B选项正确，A选项错误，四棱锥P－ABCD的体积为，故C选项正确；取PC的中点O，易知O为三棱锥的外接球的球心，可知R＝，故D选项正确．故选BCD．12.【答案】BD 【解析】对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f（x）的值域为，故选项A错误；对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，故选项B正确；对于C选项，令，由，设，①当≤0时，得，舍去；②当时，，可得，故选项C错误；对于D选项．∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程（有5个根，可得，有或，不妨设，可知，可得，故．故选项D正确，故选BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】－3【解析】由，可得．14.【答案】±【解析】因为，所以圆心O到直线的距离，所以，解得．15.【答案】【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为棱柱为正四棱柱，，则，其中平面的法向量为，设与平面所成角为，则＝16.【答案】【解析】设，由点P在第一象限，知，因为P，Q在椭圆C和以为直径的圆上，所以四边形为矩形，，由，可得，由椭圆的定义可得①平方相减可得②由①②得．令，令，所以，即，所以，所以，所以，解得．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.【答案】（1） （2）或【解析】（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．3分又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以．．．．．．．．．．．5分（2）由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又由，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又由余弦定理有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分联立方程解得或或或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.【答案】（1）  （2）【解析】（1）由抛物线经过点P（a，a），可得，可得．．．2分又，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解得故抛物线C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，则，设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分根据点M为线段FQ的中点，可得即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分由点Q为抛物线C上一动点，可得整理可得点M的轨速方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.【答案】（1）略   （2）【解析】（1）证明：在矩形中，BC＝2，，D为BC的中点．所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以，又因为是正三棱柱，所以⊥平面ABC而AD平面ABC，所以，而平面，所以⊥平面，因为平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为平面ADE，，所以平面ADE；．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）如图，以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，．．．．．．．．．．．．．．．7分则，由（1）知为平面ADE的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 有，设为平面的法向量，则令，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以．．．．．．．．．．．．．11分所以平面ADE与平面的夹角大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.【答案】（1）   （2）【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为，所以．．．．．．．．．．．．．．1分所以，有，可得椭圆C的方程为．．．．．．．．．．．．．3分代入点，有，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以椭圆C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设，由椭圆的对称性，不妨设k＞0，由，D为的中点，可得，又由，若E为椭圆C的上顶点，有|OE|＝2，故点A，E重点，直线AB的方程为．．．．．．9分由，得，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【答案】（1）   （2）无论l的位置如何变化，，为定值（3）【解析】（1）设圆T的一般方程为，．．．．．．．．．．．．．．1分代入A，B，C三点的坐标有．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故圆T的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）①当直线轴时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分②当直线l有斜率时，设其方程为，联立直线与圆的方程消元得，设，则，有或．．…7分由于点P在圆外，所以，因此，综上，无论l的位置如何变化为定值．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由W：，可知，．．．．．．．．．．．．9分由圆T，W相交，有．．．．．．．．．．．．10分①当时，不等式（*）可化为，解得；②当时，不等式（*）可化为，解得，由上知实数a的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【答案】（1）   （2）略【解析】（1）设右焦点F的坐标为（c，0），双曲线C的渐近线方程为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又由，可得，有，故双曲线C的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证明：由（1）知，双曲线C的方程为C：，右焦点F（2，0），因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点（t，0），直线l的方程为，设，则，由，消去y并整理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分显然有且，化简得且，则．．．．．．．．．．．．．6分，而三点共线，即，，因此，又，有，整理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分于是得，化简得即直线l：过定点（，0）所以直线l经过x轴上的一个定点（．0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分