四川省安岳县石羊中学2022-2023学年高二上学期期中检测数学文科试题

石羊中学2022—2023学年度第一学期期中检测 高二数学文科

时间：120分钟   满分：150分

一 单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）

1. 已知椭圆 的长轴的长为 4, 焦距为 2 , 则的方程为 (       )

A. B.

C. D.

2. 已知焦点在 轴的椭圆的标准方程为, 则的取值范围是 (       )

A. B.

C. D.或

3. 过点 的直线将圆形区域分成两部分, 使得两部分的面积相差最大, 则该直线的方程是 (       )

A. B. C. D.

4. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为（       ）

A. B. C. D.

5. 已知 是两条不同的直线,是一个平面, 则 (      )

A.若 , 则           B.若 , 则

C.若 , 则           D.若 , 则

6. 若圆锥的表面积为 , 其侧面展开图为一个半圆, 则下列结论正确的为（       ）

A.圆锥的母线长为 2 B.圆锥的底面半径为 2

C.圆锥的体积为  D.圆锥的侧面积为

7. 一束光线从点 出发, 经轴反射到圆上的最短路径的长度是（        ）

A.3 B.4 C.5 D.6

8. 在长方体 中,, 则异面直线与所成角的余弦值为（     ）

A. B.

C. D.

9. 设 是椭圆的左，右焦点, 过的直线交椭圆于两点，若最大值为 5 , 则椭圆的离心率为 (      )

A. B.

C. D.

10. 已知正方体 , 给出下列四个结论:

①直线 与所成的角为;

②直线 与所成的角为;

③直线 与平面所成的角为;

④直线 与平面所成的角为.

其中, 正确结论的个数为（     ）

A.1 B.2 C.3 D.4

11. 在棱长为 的正方体中, 点是棱的中点, 点是线段上的一个动点. 现有以下命题:

①三棱锥 的体积是定值;

②的周长的最小值为;

③直线 与平面所成的角是定值;

④异面直线 与所成的角是定值. 其中真命题是 (    )

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

12. 已知椭圆 的离心率为, 动是其内接三角形, 且. 若的中点为的轨迹的离心率为, 则（      ）

A. B. C. D.

二 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）

13.已知圆雉的高为 1 , 体积为 , 则该圆锥表面积为_______________.

14. 已知椭圆的两个焦点分别为 为椭圆上一点, 若是以为顶点的等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是________.

15 已知四棱锥 的顶点都在球上, 底面是矩形, 平面平面为正三角形,, 则球的表面积为______．

16 已知椭圆 离心率, 过椭圆中心的直线交椭圆于两点 (在第一象限), 过作轴垂线交椭圆于点, 过作直线垂直交椭圆于点, 连接交于点, 则_______________.

三 解答题（6道小题，共计70分。写清楚必要的文字说明与演算步骤）

17. （本题满分10分）如图, 正方形 和直角梯形所在的平面互相垂直,.

(1)求证: 平面.   (2)求证: 平面.

18. （本题满分12分）已知圆 的圆心在直线上, 且与轴相切于点.

(1)求圆 的方程;

(2) 若圆 与直线交于两点, , ___________,求的值.

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答:

条件①: ; 条件②:.

19. （本题满分12分）在三棱锥 中, 如图,.

(1)证明: ；

(2)求侧面 与底面所成的二面角大小;

(3)求三棱锥的体积 .

20. （本题满分12分）分别求解以下两个小题:

(1)设椭圆的离心率为 , 短轴长为, 求椭圆的标准方程;

(2)已知圆 , 圆, 动圆与圆外切并且与圆内切, 圆心的轨迹为曲线. 求 曲线的方程.

21 （本题满分12分）如图, 在三棱锥 中,, 点分别是的中点,底面.

(1)求证: 平面;

(2)求直线 与平面所成角的正弦值大小.

22. （本题满分12分）已知椭圆 的左、右焦点分别为, 若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点. 点是椭圆上与左、右顶点不重合的点, 且的面积最大值.

(1)求椭圆 的方程;

(2) 过点 的直线交椭圆于点, 且满足(为坐标原点), 求直线的方程.

石羊中学2022—2023学年度第一学期期中检测 高二数学文科

时间：120分钟   满分：150分  参考答案及解析

一 单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）

1.  【答案】D

 【解析】【分析】由题设可得 求出椭圆参数, 即可得方程.

【详解】由题设, 知: , 可得, 则,

的方程为.

故选: D.

2.  【答案】B

【解析】因为椭圆方程 焦点在轴, 所以有, 所以.  故选: B.

3.  【答案】A

 【解析】【分析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直，由此能求出直线的方程．

【详解】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以该直线与直线垂直即可

又已知点 , 则,

故所求直线的斜率为 , 又所求直线过点,

由点斜式得, 所求直线的方程为 , 即

故选: A.

4.  【答案】D

 【解析】【分析】由三视图知该几何体为半圆柱，再结合面积公式求解即可

【详解】由三视图知该几何体为半圆柱，

底面是半径为 2 的半圆, 高为 4 ,

因此表面积为 .

故选: D.

5.  【答案】D

 【解析】【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.

【详解】解：对于 A: 若 , 则或, 故 A 错误;

对于 B: 若 , 则或或或与相交 (不垂直), 故 B 错误;

对于 C: 若 , 则或或或与相交 (不垂直), 故 C 错误;

对于 D: 若 , 由线面垂直的性质可得, 故 D 正确;

故选: D

6.  【答案】AC

 【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的表面积公式，结合圆锥的侧面积公式及体积公式即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为, 母线为, 由于其侧面展开图是一个半圆,

所以 , 解得,

又因为圆锥的表面积为 ,

所以表面积 , 解得, 得母线长,

所以圆锥的高 ,

所以侧面积 , 体积.  故选: C.

7.  【答案】B

 【解析】由题意可得圆心 , 半径, 点关于轴的对称点, 如图:

所以 , 最短路径的长.

故选: B.

8.  【答案】C

 【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

以 为坐标原点,为轴建立空间直角坐标系,

则 ,

所以 ,

因为 ,

所以异面直线 与所成角的余弦值为,

故选：C.

9.  【答案】C

 【解析】【分析】取 的中点, 可得, 进而可得平面平面,

平面, 即得.

【详解】取 的中点, 连接, 则,

又 ,

, 则确定平面,

又 平面平面平面,

直线与是异面直线.

故选: C.

10. 【答案】A

【解析】先求出 , 由椭圆的定义得,

, 所以为椭圆的通径时最小,

此时 取得最大值 5 , 即可得, 从而求出的值, 最后求出椭圆的离心率

【详解】因为 , 所以椭圆的焦点在轴上, 可知,

因为过 的直线交椭圆于两点,

所以由椭圆的定义知: ,

所以 ,

当 轴时,最小,的值最大,

此时 为椭圆的通径, 由通径公式可得:

所以 , 解得:, 所以,

故选: A

11. 【答案】C

 【解析】【分析】由题意，作图，利用线面垂直判定定理，以及线面角定义，结合三角函数的定义，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：

在正方体 中,平面, 由平面, 则, 在

正方形 中,,

因为 , 且平面, 所以平面,

因为 平面, 所以,故①②正确；

同理可得 平面, 垂足为, 所以为直线与平面所成的角,

设正方体 的棱长为, 则,

即 ,故③错误；

易知 为直线与平面所成的角, 由, 则,故④正确.

故选：C.

12. 【答案】A

 【解析】

设 , 则, 由,

得 . 因为是椭圆上一点, 所以得(定值)

设, 则所以

二 填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）

13. 【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.【详解】设圆锥的底面圆的半径为, 高为.由题意可得, 所以所以圆锥的母线,所以圆锥的表面积.故答案为:

14.【分析】由椭圆对称性得, 从而得离心率.【详解】是以为顶点的等腰直角三角形, 则为短轴顶点,所以, 故答案为:.

15. 过点作, 交球面于点, 连接, 则, 三棱柱为正三棱柱,故球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点,因为为正三角形,, 所以外接圆的半径为, 所以球的半径, 所以 球的表面积为.

16.【分析】首先求得 , 然后由求得点的纵坐标, 从而求得.【详解】.设, 则, 设, 两式相减并化简得,即,由, 可得, 则, 即,解得,. 故答案为:

三 解答题（6道小题，共计70分。写清楚必要的文字说明与演算步骤）

17. 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接进行证明即可；

（2）首先利用面面垂直的性质定理得到平面, 即平面, 然后分别利用勾股定理证明,最后利用线面垂直的判定定理进行证明即可.

【详解】(1) 如图, 设正方形 的对角线与交于, 连.

, 得.

,

为平行四边形,

.

又 平面平面

平面.

(2) 平面平面, 平面平面,

平面平面.

连接 , 由 (1) 易知是边长为 1 的正方形,

故 , 得平面,

,

为等腰三角形,,

,

,

同理, 在 中,,

平面平面,

平面.

18. 【答案】(1) (2) 或

 【解析】【分析】（1）设圆心和半径，根据题意列式求解，即可得圆的方程；

（2）对①、②分析均可得圆心到直线的距离,根据点到直线的距离运算求解.

【详解】(1) 圆 的圆心为, 半径为, 由题意可得, 解得

即圆心 , 半径为, 故圆的方程为.

(2) 选①: , 则为等边三角形,,

圆心 到直线的距离,

则 , 解得或.

选②：圆心 到直线的距离,

则 , 解得或.

19 【答案】(1)证明见解析(2) (3)

 【解析】【分析】(1) 证明 平面得到, 再证明平面得到证明.

(2) 确定 为侧面与底面所成的二面角的平面角, 计算各线段长度, 在直角中计算角度大小即可.

(3) 根据勾股定理得到 , 再利用体积公式计算得到答案.

【详解】(1) , 故平面平面,

故 , 又, 故平面,

平面, 故.

(2) , 故即为侧面与底面所成的二面角的平面角.

在直角 中,,

在直角 中,, 故,

即侧面 与底面所成的二面角大小为.

(3) 在直角 中,.

.

20. 【答案】(1) 或    (2)

 【解析】【分析】(1) 根据已知条件求得 , 由此求得椭圆的标准方程.

(2) 结合椭圆的定义求得曲线 的方程.

(1)由题意可知, , 又, 所以,

所以椭圆 的标准方程为. 或.

(2)由已知得圆 的圆心为, 半径; 圆的圆心为, 半径.

设圆 的圆心为, 半径为.

因为圆 与圆外切并且与圆内切,

所以

由椭圆的定义可知, 曲线 是以为左、右焦点的椭圆(左顶点除外), 则,

故 ,

故所求 的方程为.

21. 【答案】(1)证明见解析 (2)

 【解析】【分析】 (1) 由已知, 根据点 分别是的中点, 可知, 然后利用线面平行的判定定理即可完成证明;

(2) 取 的中点, 连接, 过点作交于, 连接, 先证明平 面, 得到, 从而证明平面, 得到是与平面所成的角, 设边长, 计算即可.

【详解】(1) 由已知, 点 分别是的中点, 所以,

又 平面平面, 所以平面, 得证.

(2)因为 , 所以,

又因为 平面, 所以,

取 的中点, 连接, 则,

平面平面, 所以,

, 且, 所以平面,

过点 作交于, 连接,

因为 平面平面, 所以,

又因为 , 且, 所以平面,

因为 , 所以直线与平面所成角就是与平面所成的角,

所以 是与平面所成的角,

可设 , 所以,

,

在 Rt 中,.

所以直线 与平面所成角的正弦值为

22. 【答案】(1)      (2) 或

 【解析】【分析】(1) 先求得直线 的方程, 由此求得焦点坐标, 即求得, 结合三角形的最 大面积求得, 进而求得, 从而求得椭圆的方程.

(2) 根据直线 的斜率是否存在进行分类讨论, 结合三角形的面积来求得直线的方程.

(1)直线 直线过椭圆焦点, 所以, 该焦点坐标为, 则,

又 的面积最大值, 则, 所以,

故椭圆 的方程为③.

(2)①当直线 的斜率存在时, 设,

代入③整理得 ,

设 , 则.

所以, .

点 到直线的距离.

因为 , 即,

又由 , 得,

所以, .

而 , 即,

解得 , 此时;

②当直线 的斜率不存在时,, 直线交椭圆于点.

也有 , 经检验, 上述直线均满足,

综上: 直线 的方程为或.