山东省聊城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含答案）

2022-2023学年度上学期期中教学质量检测

高三数学试题

第Ⅰ卷（60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．已知复数z满足，则（    ）．

A．   B．    C．    D．8

3．下列结论正确的是（    ）．

A．若命题，，则，．

B．若，则“”是“”的必要不充分条件．

C．点在的终边上，则的一个充要条件是．

D．，．

4．已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．已知，则（    ）．

A．   B．    C．    D．

6．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A．       B．

C．    D．

7．若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（    ）．

A．     B．

C．     D．

8．已知，，，下列说法正确的是（    ）．

A．  B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知平面向量，，，则（    ）．

A．若，则      B．若，则

C．若与的夹角为锐角，则   D．的最小值为4

10．下列结论正确的是（    ）．

A．若，且，则

B．若，，，则的最小值为4

C．函数的最小值为4

D．已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，

11．已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（    ）．

A．

B．

C．是曲线的对称轴

D．直线是曲线的一条切线

12．在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（    ）．

A．为等比数列     B．为等差数列

C．为递增数列     D．

第Ⅱ卷（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，若，，则______．

14．在四边形ABCD中，，且，，则的值为______．

15．设为数列的前n项和，且，，，则______．

16．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数．

（1）当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

18．（12分）已知正项数列满足且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项的和．

19．（12分）已知函数为奇函数，且，其中，．函数．

（1）求a，的值；

（2）求函数的单调递减区间．

20．（12分）已知中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，．

（1）若，求的面积；

（2）若，求的周长．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数，，其中．

（1）若在上有两个不同零点，求a的取值范围．

（2）若在上单调递减，求a的取值范围．

（3）证明：，．

2022-2023学年度上学期期中教学质量检测

高三数学试题参考答案

一、单选 1．B 2．A 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C

二、多选 9．ABD  10．AB  11．ACD  12．BD

三、填空 13．  14．5  15．  16．

四、解答

17．解：（1）因为且，设，

则为减函数，时，的最小值为，

当时，恒有意义，即时，恒成立．

所以．所以．

又且，所以．

（2），因为，所以函数为减函数．

因为在区间上为增函数，所以为减函数，

所以．

当时，最大值为，

所以，即．

故，使得函数在区间上为增函数，并且最大值为1．

18．（1）由题意得：

∵，∴，即为常数，

∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，

∴．

（2），

∴S

19．（1）法一：因为是奇函数，

而为偶函数，所以为奇函数，

又，得．

所以，

由，得，即．

法二：由题意可得，

因为，所以，可解得，，

此时为奇函数，符合题意，所以，．

（2）

令，则的单调递减区间为，，

由解得，，

所以的单调递减区间为，．

20．解：（1）因为，，，

∴，解得，

∴．

（2）因为，由正弦定理可得，

代入，解得，，

因为，所以A为锐角，∴，

当B为锐角时，，

∴，

因为，∴，，

∴，

当B为钝角时，，

∴，

因为，∴，，

∴．

综上：的周长为或．

21．解：（1）定义域为，

，

令，得或．

当即时：

，，函数单调递减；

，，函数单调递增；

当即时：

，，函数单调递增；

，，函数单调递减；

，，函数单调递增；

当即时：，，函数单调递增；

当即时：

，，函数单调递增；

，，函数单调递减；

，，函数单调递增；

综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；

当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；

当时，单调递增区间有，无单调递减区间；

当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．

（2）当时，

由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，

从而函数在区间上的最小值为．

即存在，使，

即存在，使得，

即，令，，则，

由，当时，函数单调递增；

当时，函数单调递减，

所以，所以．

22．解：（1），，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以时，取最小值．

又，；，．

因为在有两个不同的零点，所以，

所以．

（2）在区间上单调递减，

即在上恒成立，

即在上恒成立．

令，，

当时，，，

所以，即在上单调递增，

所以当时，，所以．

（3）证明：由（2）知时，，

所以，即，．

令得，

所以，

即，．