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2019-2020学年天津市东丽区中考数学二模试卷(有标准答案)
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这是一份2019-2020学年天津市东丽区中考数学二模试卷(有标准答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
天津市东丽区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（﹣5）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣10 C．10 D．﹣3
2．tan30°的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
5．如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10
7．正六边形的边心距是，则它的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
8．若=0，则x的值等于（ ）
A．3或﹣2 B．﹣3 C．2 D．无法确定
9．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
10．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
11．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名 B．450名 C．400名 D．300名
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．计算（﹣2y3）2的结果等于 ．
14．一次函数y=﹣x+3的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系为 ．
15．在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，﹣3，﹣2，1，﹣，现从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是 ．
16．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
17．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于 ．
18．如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．
（1）点B到OM的距离等于 ；
（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
21．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
22．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
23．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞1000．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
…
在乙商场实际花费
…
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过1000元时，在哪家商场的实际花费少？
24．如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 ．
25．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．
天津市东丽区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（﹣5）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣10 C．10 D．﹣3
【考点】有理数的乘法．
【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，依此计算即可求解．
【解答】解：（﹣5）×（﹣2）=10．
故选：C．
2．tan30°的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan30°=，
故选：C．
3．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
4．在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1330用科学记数法表示为1.33×103．
故选B．
5．如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是一个矩形，第二层左边一个矩形，
故选：A．
6．已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10
【考点】反比例函数的性质．
【分析】将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10，
故选：C．
7．正六边形的边心距是，则它的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】正多边形和圆．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得：OA=2．
故选B．
8．若=0，则x的值等于（ ）
A．3或﹣2 B．﹣3 C．2 D．无法确定
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得：（x+3）（x﹣2）=0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：（x+3）（x﹣2）=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣3，
故选：B．
9．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣===x+1．
故选A
10．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=÷2=75°，
∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选B．
11．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名 B．450名 C．400名 D．300名
【考点】用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比，再乘以总人数即可．
【解答】解；∵喜爱体育节目的学生占1﹣10%﹣5%﹣35%﹣30%=20%，该校共1500名学生，
∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%=300（名），
故选：D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据已知画出图象，把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，2a+c=2b﹣2a；把x=﹣1代入得到a﹣b+c＞0；根据﹣＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b﹣2a＞0；代入得到2a﹣b+1=﹣c+1＞0，根据结论判断即可．
【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，∴①正确；
把x=﹣1代入得：y=a﹣b+c＞0，如图A点，∴②错误；
∵（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1，
∴取符合条件1＜x1＜2的任何一个x1，﹣2•x1＜﹣2，
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x1•x2=＜﹣2，
∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞﹣2a，
∴2a+c＞0，∴③正确；
④由4a﹣2b+c=0得 2a﹣b=﹣，
而0＜c＜2，∴﹣1＜﹣＜0
∴﹣1＜2a﹣b＜0
∴2a﹣b+1＞0，
∴④正确．
所以①③④三项正确．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．计算（﹣2y3）2的结果等于 4y6 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可．
【解答】解：（﹣2y3）2=（﹣2y3）•（﹣2y3）
=4y6．
故答案为：4y6．
14．一次函数y=﹣x+3的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由x1＜x2即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣x+3中，k=﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，﹣3，﹣2，1，﹣，现从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】先求出非负数的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵0，﹣3，﹣2，1，﹣这5个数中，非负数有0，1这2个，
∴从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是，
故答案为：．
16．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= 130°或50° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：如图
∵弧BAD的度数为140°，
∴∠BOD=140°，
∴∠BCD=∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．
同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°
故答案为：130°或50°．
17．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于 或3 ．
【考点】勾股定理．
【分析】分两种情况：①延长BC、AD交于点M，由平行线证出△DCM∽△ABN，得出=，得出CN=BC=3，AD=DN=AN，求出BN=6，由勾股定理求出AN，即可得出AD的长度；
②设AD交BC于O，由平行线证明△COD∽△BOA，得出=，求出OC=1，OB=2，由勾股定理求出OD和OA，即可得出AD的长度．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：延长BC、AD交于点M，
∵CD∥AB，
∴△DCM∽△ABN，
∴==，
∴CN=BC=3，AD═AN，
∴BN=6，
∵∠ABC=90°，
∴AN===2，
∴AD=；
②如图2所示：
设AD交BC于O，
∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴=，
∵BC=3，
∴OC=1，OB=2，
∴OD==，OA==2，
∴AD=OA+OD=3；
综上所述：AD的长度等于或3；
故答案为：或3．
18．如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．
（1）点B到OM的距离等于 2 ；
（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR即可得到结果．
【解答】解：（1）点B到OM的距离==2，
故答案为：2；
（2）取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR交OM于P，
则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
20．为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；
（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】解：（1）根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户），
如图所示：
（2）平均数为：（20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）=11.6（吨），
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11；
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
（3）样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），
答：黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×=350（户）．
21．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
【考点】切线的判定；勾股定理．
【分析】（1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）作EF⊥AB于F，连接BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得BE，然后根据sin∠BAE==求得EF即可．
【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图①，连接OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE==，
∵sin∠BAE==．
∴=
∴EF=．
22．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切函数的定义，可得方程①②，根据代入消元法，可得答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=tan64°==2，
CD=①．
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==，
BE=AB ②．
BE=CD，得===AB，
解得AB=70cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm．
23．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞1000．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过1000元时，在哪家商场的实际花费少？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据已知得出甲商场1000+×0.9以及500+×0.95进而得出答案，同理可得出在乙商场累计购物2900元、x元的实际花费；
（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+100相等，从而得出正确结论；
（3）根据0.95x+25与0.9x+100相比较，从而得出正确结论．
【解答】解：（1）在甲商场：1000+×0.9=1270，
1000+×0.9=2710，
1000+（x﹣1000）×0.9=0.9x+100；
在乙商场：500+×0.95=1260，
500+×0.95=2780，
500+（x﹣500）×0.95=0.95x+25；
填表如下：
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
（2）根据题意得出：
0.9x+100=0.95x+25，
解得：x=1500，
答：当x为1500时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同；
（3）由0.9x+100＜0.95x+25，
解得：x＞1500，
0.9x+100＞0.95x+25，
解得：x＜1500，
∴当小红累计购物大于1500时，选择甲商场实际花费少；
当累计购物正好为1500元时，两商场花费相同；
当小红累计购物超过1000元而不到1500元时，在乙商场实际花费少．
答：当小红累计购物超过1000元而不到1500元时，在乙商场实际花费少；正好为1500元时，两商场花费相同；大于1500时，选择甲商场实际花费少．
24．如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 S= ．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）运用30°的角的直角三角形求解即可求出折痕EF的长．
（2）存在，作B1D⊥BC，由（1）可得FO的长，进而可求出B1D的长度，在直角三角形中可求出BB1，即x的值．
（3）分4种情况讨论①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，③当＜x≤4时，④当4＜x≤6时，根据四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S与x关系求出表达式及自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵A（，0），
∴EO=1，
∵∠EFO=60°，∠EOF=90°，
∴EF==，
（2）存在，理由如下：
如图1，作B1D⊥BC，
∵FO=，
∴B1D=，∠B=60°
∴BB1==，即x=，
（3）①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，如图2，
∵AO=，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴AE=2，
∵BB1=EE1=x，
∴E1A=2﹣x，
∴E1M=（2﹣x），
∴S=（EF+E1M）•E1E= [+（2﹣x）]•x=﹣x2+x
②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，
所以S=EF•AE=××2=，
③当＜x≤4时，如图3
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3，
∵AO=，OF=，
∴CF=3﹣﹣=，
∴此时BB1=，即当B1C1过点F时x=，
当x＞时，FM=（x﹣），在RT△NMF中，NM=FM=（x﹣），
∴△NMF的面积为： FM•MN=×（x﹣）×（x﹣），
∴S=S△AEF﹣S△NMF=﹣×（x﹣）×（x﹣）=﹣x2+x﹣，
④当4＜x≤6时，如图4，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AB=6，
AB1=6﹣x，
∴DB1=（6﹣x），AD=（6﹣x），
∴S=DA•DB1=×（6﹣x）×（6﹣x）=x2﹣x+，
综上可知S与x的函数关系式为：S=，
故答案为：S=．
25．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，设CD直线方程可以设为：y=x+m，求出m的值，进而求出D点的值，由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标，由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程，CE直线方程可以设为：y=x+n，求出n的值，进而求出E点的坐标；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三种情形：①当FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分别求出F点的坐标即可；
【解答】解：（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，
可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），
然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，
解得：a=﹣，
故抛物线解析式是：y=﹣（x+2）（x﹣4）；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，
∵CD⊥CB，
∴CD直线方程可以设为：
y=x+m，
将C点坐标代入得：m=2，
∴CD直线方程为：y=x+2，
∴D点坐标为：D（0，2），
由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1，），
∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=﹣x+，
∴F点坐标为：F（0，），
∴CE直线方程可以设为：y=x+n，
将C点坐标代入得：n=，
∴CE直线方程为：y=x+，
令y=0，解得：x=﹣，
∴E点坐标为E（﹣，0），
∴能；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，
则△FDC是等腰△可以有三种情形：
①FD=CD=，
则F点坐标为F（0，2+），
②FC=CD=，过C点作y轴垂线，垂足为H点，
则DH=1，
则FH=1，
则F点坐标为F（0，4），
③FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，
由中点公式得G点坐标为G（，），
由DC两点可以求得DC直线方程为：y=x+2，
则FG直线方程可以设为：y=﹣3x+p，
将G点坐标代入解得：p=7，
故F点坐标为（0，7）．
天津市东丽区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（﹣5）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣10 C．10 D．﹣3
2．tan30°的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
5．如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10
7．正六边形的边心距是，则它的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
8．若=0，则x的值等于（ ）
A．3或﹣2 B．﹣3 C．2 D．无法确定
9．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
10．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
11．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名 B．450名 C．400名 D．300名
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．计算（﹣2y3）2的结果等于 ．
14．一次函数y=﹣x+3的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系为 ．
15．在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，﹣3，﹣2，1，﹣，现从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是 ．
16．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= ．
17．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于 ．
18．如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．
（1）点B到OM的距离等于 ；
（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
21．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
22．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
23．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞1000．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
…
在乙商场实际花费
…
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过1000元时，在哪家商场的实际花费少？
24．如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 ．
25．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．
天津市东丽区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（﹣5）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣10 C．10 D．﹣3
【考点】有理数的乘法．
【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，依此计算即可求解．
【解答】解：（﹣5）×（﹣2）=10．
故选：C．
2．tan30°的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：tan30°=，
故选：C．
3．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
4．在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1330用科学记数法表示为1.33×103．
故选B．
5．如图所示，几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是一个矩形，第二层左边一个矩形，
故选：A．
6．已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜5 B．1＜y＜2 C．5＜y＜10 D．y＞10
【考点】反比例函数的性质．
【分析】将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10，
故选：C．
7．正六边形的边心距是，则它的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】正多边形和圆．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得：OA=2．
故选B．
8．若=0，则x的值等于（ ）
A．3或﹣2 B．﹣3 C．2 D．无法确定
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得：（x+3）（x﹣2）=0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：（x+3）（x﹣2）=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣3，
故选：B．
9．化简的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
【考点】分式的加减法．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣===x+1．
故选A
10．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=÷2=75°，
∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选B．
11．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．1200名 B．450名 C．400名 D．300名
【考点】用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比，再乘以总人数即可．
【解答】解；∵喜爱体育节目的学生占1﹣10%﹣5%﹣35%﹣30%=20%，该校共1500名学生，
∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%=300（名），
故选：D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据已知画出图象，把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，2a+c=2b﹣2a；把x=﹣1代入得到a﹣b+c＞0；根据﹣＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b﹣2a＞0；代入得到2a﹣b+1=﹣c+1＞0，根据结论判断即可．
【解答】解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
把x=﹣2代入得：4a﹣2b+c=0，∴①正确；
把x=﹣1代入得：y=a﹣b+c＞0，如图A点，∴②错误；
∵（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1，
∴取符合条件1＜x1＜2的任何一个x1，﹣2•x1＜﹣2，
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x1•x2=＜﹣2，
∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞﹣2a，
∴2a+c＞0，∴③正确；
④由4a﹣2b+c=0得 2a﹣b=﹣，
而0＜c＜2，∴﹣1＜﹣＜0
∴﹣1＜2a﹣b＜0
∴2a﹣b+1＞0，
∴④正确．
所以①③④三项正确．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．计算（﹣2y3）2的结果等于 4y6 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可．
【解答】解：（﹣2y3）2=（﹣2y3）•（﹣2y3）
=4y6．
故答案为：4y6．
14．一次函数y=﹣x+3的图象上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1＜x2，则y1与y2的大小关系为 y1＞y2 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由x1＜x2即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣x+3中，k=﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
15．在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，﹣3，﹣2，1，﹣，现从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】先求出非负数的个数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵0，﹣3，﹣2，1，﹣这5个数中，非负数有0，1这2个，
∴从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是，
故答案为：．
16．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD= 130°或50° ．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：如图
∵弧BAD的度数为140°，
∴∠BOD=140°，
∴∠BCD=∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．
同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°
故答案为：130°或50°．
17．已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若线段CD=2，且CD∥AB，则AD的长度等于 或3 ．
【考点】勾股定理．
【分析】分两种情况：①延长BC、AD交于点M，由平行线证出△DCM∽△ABN，得出=，得出CN=BC=3，AD=DN=AN，求出BN=6，由勾股定理求出AN，即可得出AD的长度；
②设AD交BC于O，由平行线证明△COD∽△BOA，得出=，求出OC=1，OB=2，由勾股定理求出OD和OA，即可得出AD的长度．
【解答】解：分两种情况：
①如图1所示：延长BC、AD交于点M，
∵CD∥AB，
∴△DCM∽△ABN，
∴==，
∴CN=BC=3，AD═AN，
∴BN=6，
∵∠ABC=90°，
∴AN===2，
∴AD=；
②如图2所示：
设AD交BC于O，
∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴=，
∵BC=3，
∴OC=1，OB=2，
∴OD==，OA==2，
∴AD=OA+OD=3；
综上所述：AD的长度等于或3；
故答案为：或3．
18．如图，是由每个边长都是1的小正方形构成的网格，点O，A，B，M均为格点，P为线段OM上的一个动点．
（1）点B到OM的距离等于 2 ；
（2）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR即可得到结果．
【解答】解：（1）点B到OM的距离==2，
故答案为：2；
（2）取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR交OM于P，
则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
20．为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
【分析】（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；
（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】解：（1）根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户），
如图所示：
（2）平均数为：（20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）=11.6（吨），
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11；
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
（3）样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），
答：黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×=350（户）．
21．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
【考点】切线的判定；勾股定理．
【分析】（1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）作EF⊥AB于F，连接BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得BE，然后根据sin∠BAE==求得EF即可．
【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图①，连接OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE==，
∵sin∠BAE==．
∴=
∴EF=．
22．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切函数的定义，可得方程①②，根据代入消元法，可得答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=tan64°==2，
CD=①．
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°==，
BE=AB ②．
BE=CD，得===AB，
解得AB=70cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm．
23．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过1000元后，超出1000元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞1000．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过1000元时，在哪家商场的实际花费少？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据已知得出甲商场1000+×0.9以及500+×0.95进而得出答案，同理可得出在乙商场累计购物2900元、x元的实际花费；
（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+100相等，从而得出正确结论；
（3）根据0.95x+25与0.9x+100相比较，从而得出正确结论．
【解答】解：（1）在甲商场：1000+×0.9=1270，
1000+×0.9=2710，
1000+（x﹣1000）×0.9=0.9x+100；
在乙商场：500+×0.95=1260，
500+×0.95=2780，
500+（x﹣500）×0.95=0.95x+25；
填表如下：
累计购物
1300
2900
…
x
在甲商场实际花费
1270
2710
…
0.9x+100
在乙商场实际花费
1260
2780
…
0.95x+25
（2）根据题意得出：
0.9x+100=0.95x+25，
解得：x=1500，
答：当x为1500时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同；
（3）由0.9x+100＜0.95x+25，
解得：x＞1500，
0.9x+100＞0.95x+25，
解得：x＜1500，
∴当小红累计购物大于1500时，选择甲商场实际花费少；
当累计购物正好为1500元时，两商场花费相同；
当小红累计购物超过1000元而不到1500元时，在乙商场实际花费少．
答：当小红累计购物超过1000元而不到1500元时，在乙商场实际花费少；正好为1500元时，两商场花费相同；大于1500时，选择甲商场实际花费少．
24．如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在的直线上，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围 S= ．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）运用30°的角的直角三角形求解即可求出折痕EF的长．
（2）存在，作B1D⊥BC，由（1）可得FO的长，进而可求出B1D的长度，在直角三角形中可求出BB1，即x的值．
（3）分4种情况讨论①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，③当＜x≤4时，④当4＜x≤6时，根据四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S与x关系求出表达式及自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵A（，0），
∴EO=1，
∵∠EFO=60°，∠EOF=90°，
∴EF==，
（2）存在，理由如下：
如图1，作B1D⊥BC，
∵FO=，
∴B1D=，∠B=60°
∴BB1==，即x=，
（3）①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，如图2，
∵AO=，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴AE=2，
∵BB1=EE1=x，
∴E1A=2﹣x，
∴E1M=（2﹣x），
∴S=（EF+E1M）•E1E= [+（2﹣x）]•x=﹣x2+x
②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，
所以S=EF•AE=××2=，
③当＜x≤4时，如图3
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AC=3，
∵AO=，OF=，
∴CF=3﹣﹣=，
∴此时BB1=，即当B1C1过点F时x=，
当x＞时，FM=（x﹣），在RT△NMF中，NM=FM=（x﹣），
∴△NMF的面积为： FM•MN=×（x﹣）×（x﹣），
∴S=S△AEF﹣S△NMF=﹣×（x﹣）×（x﹣）=﹣x2+x﹣，
④当4＜x≤6时，如图4，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，
∴AB=6，
AB1=6﹣x，
∴DB1=（6﹣x），AD=（6﹣x），
∴S=DA•DB1=×（6﹣x）×（6﹣x）=x2﹣x+，
综上可知S与x的函数关系式为：S=，
故答案为：S=．
25．如图，点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，设CD直线方程可以设为：y=x+m，求出m的值，进而求出D点的值，由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标，由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程，CE直线方程可以设为：y=x+n，求出n的值，进而求出E点的坐标；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，△FDC是等腰△可以有三种情形：①当FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分别求出F点的坐标即可；
【解答】解：（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，
可以由两根式设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），
然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，
解得：a=﹣，
故抛物线解析式是：y=﹣（x+2）（x﹣4）；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y=﹣3x+12，
∵CD⊥CB，
∴CD直线方程可以设为：
y=x+m，
将C点坐标代入得：m=2，
∴CD直线方程为：y=x+2，
∴D点坐标为：D（0，2），
由抛物线解析式可以顶点公式或对称轴x=1解得顶点M坐标为M（1，），
∴由C、M两点坐标可以求得CM即CF直线方程为：y=﹣x+，
∴F点坐标为：F（0，），
∴CE直线方程可以设为：y=x+n，
将C点坐标代入得：n=，
∴CE直线方程为：y=x+，
令y=0，解得：x=﹣，
∴E点坐标为E（﹣，0），
∴能；
（3）由C、D两点坐标可以求得CD=，
则△FDC是等腰△可以有三种情形：
①FD=CD=，
则F点坐标为F（0，2+），
②FC=CD=，过C点作y轴垂线，垂足为H点，
则DH=1，
则FH=1，
则F点坐标为F（0，4），
③FD=FC，作DC的中垂线FG，交y轴于F点，交DC于G点，
由中点公式得G点坐标为G（，），
由DC两点可以求得DC直线方程为：y=x+2，
则FG直线方程可以设为：y=﹣3x+p，
将G点坐标代入解得：p=7，
故F点坐标为（0，7）．
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