天津市河北十四中2016-2017学年九年级(上)期末数学冲刺试卷(解析版)

这是一份天津市河北十四中2016-2017学年九年级(上)期末数学冲刺试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级（上）期末数学冲刺试卷
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．3
2．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）

A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
3．下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚均匀硬币，正面朝上
B．明天是阴天
C．任意选择某个电视频道，正在播放动画片
D．两负数的和为正数
4．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（　　）
A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm2 D．12πcm2
8．用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（　　）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．6
10．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．4
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是y=x2﹣4x+5，则a+b+c=　　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k＜0，x＜0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为　　．

13．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为　　．

14．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率　　．
15．若2a﹣3b=0（b≠0），则=　　．
16．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°，则∠B+∠E=　　．

17．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与两坐标轴围成一个△AOB．现将背面完全相同，正面分别标有数1，2，3，，的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为　　．
18．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=　　．

　
三、解答题（本大题共6小题，共66分）
19．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．

21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

22．为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；
（2）某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．
23．如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度．

24．如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

　

2016-2017学年天津市河北十四中九年级（上）期末数学冲刺试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），
∴k的值为：2×（﹣6）=﹣12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用xy=k求出是解题关键．
　
2．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（　　）

A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
　
3．下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚均匀硬币，正面朝上
B．明天是阴天
C．任意选择某个电视频道，正在播放动画片
D．两负数的和为正数
【考点】随机事件．
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．根据不可能事件的概念即可判断．
【解答】解：A、投掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率是0.5，该事件是随机事件；
B、明天不一定是阴天，该事件是随机事件；
C、任意选择某个电视频道，不一定是正在播放动画片，该事件是随机事件；
D、一定不会发生，故选项中的事件是不可能事件．
故选D．
【点评】解决本题需要正确理解不可能事件的概念；用到的知识点为：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
　
4．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形
故选A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质，得出两三角形相似是解题的关键，是基础题，难度不大．
　
5．若反比例函数y=﹣的图象经过点A（3，m），则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点的坐标代入解析式即可．
【解答】解：把点A代入解析式可知：m=﹣．
故选C．
【点评】主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值．
　
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
　
7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（　　）
A．24cm2 B．48cm2 C．24πcm2 D．12πcm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．
【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是了解圆锥的有关元素与扇形的有关元素的对应关系．
　
8．用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（　　）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【考点】几何概率；扇形统计图．
【分析】根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率．
【解答】解：∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，
∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=，
∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是=0.3，
故选B．
【点评】此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
　
9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．6
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段．
【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，
AC=5，
AC边上的高为2，所以BE=4．
∵△ABC∽△EFB，
∴=，即=
EF=8．
故选B．

【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．
　
10．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．
【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），
∴D（﹣3，2），
∵双曲线y=经过点D，
∴k=﹣3×2=﹣6，
∴△BOC的面积=|k|=3．
又∵△AOB的面积=×6×4=12，
∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．
故选B．
【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是y=x2﹣4x+5，则a+b+c=　7　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣4x+5，所以y=x2﹣4x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣4x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．
【解答】解：∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，当y=x2﹣4x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，
∴y=（x﹣2+3）2+1+2=x2+2x+4；
∴a+b+c=1+2+4=7．
故答案是：7．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
　
12．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=（k＜0，x＜0）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为　﹣3　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB•OE，由于S平行四边形ABCD=AB•CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AEOB的面积=AB•OE，
∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3，
∴四边形AEOB的面积=3，
∴|k|=3，
∵＜0，
∴k=﹣3，
故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确四边形AEOB的面积=S平行四边形ABCD是解题的关键．
　
13．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为　　．

【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次指针指向的数都是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得如下：

1
2
3
1
1、1
1、2
1、3
2
2、1
2、2
2、3
3
3、1
3、2
3、3
∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，
∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
　
14．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图：

∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，
∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
　
15．若2a﹣3b=0（b≠0），则=　　．
【考点】比例的性质．
【分析】由已知条件变形得到2a=3b，然后利用比例性质求解．
【解答】解：∵2a﹣3b=0，
∴2a=3b，
∴=．
故答案为．
【点评】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
　
16．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°，则∠B+∠E=　210°　．

【考点】圆周角定理．
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=30°，
∴∠B+∠E=180°+30°=210°．
故答案为：210°．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
　
17．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与两坐标轴围成一个△AOB．现将背面完全相同，正面分别标有数1，2，3，，的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为　　．
【考点】概率公式；一次函数的性质．
【分析】综合考查等可能条件下的概率和一次函数及坐标系的知识，先求出中任取一张时所得点的坐标数，再画出图象交点个数，由图象上各点的位置直接解答即可．
【解答】解：由题意得，所得的点有5个，分别为（1，1）（2，）（3，）（，2）（，3）；
再在平面直角坐标系中画出直线y=﹣x+3与两坐标轴围成的△AOB．在平面直角坐标系中描出上面的5个点，可以发现落在△AOB内的点有（1，1）（2，）（，2），所以点P落在△AOB内的概率为．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
　
18．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=　1或4或2.5　．

【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时， =，
即=，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时， =，即=，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．
　
三、解答题（本大题共6小题，共66分）
19．（2014•云南）将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系S=中即可求得k的值，从而确定解析式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值．
【解答】解：（1）由题意得：a=0.1，S=700，
代入反比例函数关系S=中，
解得：k=Sa=70，
所以函数关系式为：S=；

（2）将a=0.08代入S=得：S===875千米，
故该轿车可以行驶875千米；
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型．
　
20．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．

【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM=90°，
∴∠DAB=∠CAM，
∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，
∴△DBA∽△DAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．
　
21．（2014•白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC﹣DC=6．

【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
　
22．（2016•凉山州）为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；
（2）某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据留守儿童有4名的班级有6个，占30%，可求得有留守儿童的班级总数，再求得留守儿童是2名的班数；
（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列表可得出来自一个班的共有4种情况，继而可得所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
【解答】解：（1）该校的班级共有6÷30%=20（个），
有2名贫困生的班级有20﹣5﹣6﹣5﹣2=2（个），
补全条形图如图：


（2）根据题意，将两个班级4名学生分别记作A1、A2、B1、B2，
列表如下：

A1
A2
B1
B2
A1

A1，A2
A1，B1
A1，B2
A2
A2，A1

A2，B1
A2，B2
B1
B1，A1
B1，A2

B1，B2
B2
B2，A1
B2，A2
B2，B1

由上表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有12种等可能结果，其中被选中的两名学生来自同一班级的有4种结果，
∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为=．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图、树状图的画法以及规律公式；读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
23．（2012•包河区一模）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】延长AD交BC于E点，则BE即为AB的影长．然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°
作DQ⊥BC于Q
在Rt△DCQ中，∠DCQ=30°，DC=8
∴DQ=4，QC=8cos30°=
在Rt△DQE中，QE==4（米）
∴BE=BC+CQ+QE=20+8（米）
在Rt△ABE中，AB=BEtan30°=（米）．
答：旗杆的高度约为米．

【点评】本题查了解直角三角形的应用．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
　
24．（2014•济南）如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

【考点】反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t， t﹣1），则MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN=•t•（﹣t+1），再进行配方得到S=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），最后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y=
得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=
得a=2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2，
∵tan∠DAC==，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入
得，
解，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1；

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点的横坐标为t，
∴N点坐标为（t， t﹣1），
∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，
∴S△CMN=•t•（﹣t+1）
=﹣t2+t+
=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），
∵a=﹣＜0，
∴当t=时，S有最大值，最大值为．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．