上海市某校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份上海市某校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了函数的部分图像如图所示，，计算等内容，欢迎下载使用。
2022-2023 学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷  2022.11.09考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号. 2．本试卷共有道题，满分分，考试时间分钟一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合，则__________.2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．3．若向量则对应的位置向量的终点坐标是_______．4．已知函数若，则________.5．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为______．6．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为__________．7．计算：___________.8．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．9．已知函数的值域为，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．10．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，则_____．11.​的外心为​，三个内角所对的边分别为，，，则面积的最大值为____________. 12．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；④函数不是“T—单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置．13．角的始边与x轴非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（    ）A． B．      C．        D．14．已知向量满足，则 (    )A．4 B．3       C．2        D．015．设为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ）A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）A． B．        C．        D．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知向量，函数.(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；(2)若，求的值域. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．的内角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)当时，求的长.          19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
          20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.        21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设m为实数，函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(3)若方程有两个实数根，，证明：．        2022学年度第一学期 高三年级期中考试数学试卷(参考答案）2022.11.09一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合，则__________.【答案】      2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．【答案】23．若向量则对应的位置向量的终点坐标是_______．【答案】4．已知函数若，则________.【答案】或5．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为______．【答案】 26．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为__________．【答案】    7．计算：___________.【答案】8．在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．【答案】129．已知函数的值域为，且在上单调递增，请写出一个满足题意的的解析式_____________．【答案】（答案不唯一）      10.已知函数满足，函数与图象的交点分别为，则_____．【答案】－511.​的外心为​，三个内角所对的边分别为，，，则面积的最大值为____________.【答案】 12【分析】由平面向量的数量积结合已知可得，再由余弦定理求得,进而求得，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则面积的最大值可求.【详解】设的中点为，如图所示的外心为，则，，整理得，则，又 ，当且仅当，等号成立. 故答案为：12.12．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”．对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且） ：③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；④函数不是“T—单调增函数”．其中，所有正确的结论序号是______．【答案】②③④【分析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.【解析】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.故答案为：②③④二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置．13．角的始边与x轴非负半轴重合，若为角终边上的一点，则（    ）A． B．      C．        D．【答案】B14．已知向量满足，则 (    )A．4 B．3       C．2        D．0【答案】B15．设为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ）A．必要不充分条件  B．充分不必要条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B   16．若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）A． B．        C．        D．【答案】D【解析】由题知，对，都有设，则所以又所以则因为函数恰有4个不同的零点，即方程有4个不同的实数根，记，则方程必有两个不同的实数根为，且和都有两个不同实数根，由图可知，当时，有，且，此时和都有两个不同实数根，满足题意.所以，实数的取值范围为.故选：D 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知向量，函数.(1)求的最小正周期及图象的对称轴方程；(2)若，求的值域.【解析】（1）因为，且，所以，即，的最小正周期，令，，解得，，即图象的对称轴方程为，.（2）解：，，，所以.18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．的内角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)当时，求的长.【解析】（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，所以，又，所以.由及，得.当时，由，得，化简得，解得.当时，由，化简得，解得.所以或    19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．【解析】（1）甲的基础工资收入总量元乙的基础工资收入总量元（2），，，设，即，解得所以当时，递增，当时，递减又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围. 【答案】 (1)由,所以为奇函数.故对于任意有为位差奇函数.又,设.此时,若为奇函数则恒成立.与假设矛盾,故不存在有为位差奇函数.(2) 由是位差值为的位差奇函数可得,为R上的奇函数.即为奇函数.即,.(3)设.由题意对任意的均不恒成立.此时即对任意的不恒成立.故在无解.又,故.故【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设m为实数，函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(3)若方程有两个实数根，，证明：． 【解析】（1），函数定义域为，，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．（2）当时，，设切点为，，则切线斜率，切线方程为，， ，，，令，函数定义域为，，，；，在上单调递减，在上单调递增，，即的最小值为（3）证明：，即，则，令，函数定义域为，，，；，∴在上单调递增，在上单调递减，，，不妨设，，令，，所以，，，要证，只要证，只要证，令 ，，，，；，在上单调递减，在上单调递增， ，，（1），则存在，使得，在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增， ，，在上恒成立，得证．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.