【备战2023高考】数学专题讲与练-考向03《不等式性质与一元二次不等式》（重点）全能练（新高考地区专用）

考向03  不等式性质与一元二次不等式

【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

【2022年新高考全国II卷】（多选题）若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．

2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．

比较法又分为作差比较法和作商比较法．

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．

3．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．

已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

4．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

5．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．

6．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

1．比较大小基本方法

2．．等式的性质

（1）基本性质

3．元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上．

（2）①若，解集为．

②若，解集为．

③若，解集为．

(2) 当时，二次函数图象开口向下．

①若，解集为

②若，解集为

1．（多选题）（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

由不等式的性质与基本不等式判断.

【详解】

，，A错；，

，

成立，即B正确；，

得，当且仅当时取等号，同理，，

当且仅当时取等号，又，

即不同时等于1，，C正确；

当时，，D错.

故选：BC

2．（多选题）（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，且，则下列说法中正确的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据基本不等式判断ABC，举反例判断D．

【详解】

由题意，当且仅当时等号成立，A正确；

，当且仅当时等号成立，B正确；

，当且仅当时等号成立，C正确；

，时，，D错误．

故选：ABC．

3．（2022·海南华侨中学模拟预测）不等式的解集为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值.

【详解】

由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且，

所以，，解得.

故答案为：.

4．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数的一个值____________.

【答案】

【解析】

【分析】

先解出的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.

【详解】

由，得,

令，，

“”是“”成立的必要不充分条件，.

（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.

故答案为：中任何一个均可.

1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，求出结合条件可得结果.

【详解】

设，可得，

解得，，

因为可得，

所以.

故选：C.

2．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】

因为，所以，

对于A：，，所以，故A错误；

对于B：，所以在上为增函数，

又，所以，故B错误；

对于C：，

因为，，所以，

所以，故C错误；

对于D：，

因为，，

所以，即，故D正确.

故选：D

3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.

【详解】

当且 时，

的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.

当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.

故选：B

4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.

【详解】

由，得，由，得，

因此，，即，

由，得，于是得，

所以正数，，的大小关系为.

故选：A

5．（2022·北京·北大附中三模）已知，下列不等式中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.

【详解】

解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；

对于选项B，因为，所以，故B错误；

对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；

对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；

故选：C.

6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知,且为自然对数),则下列结论一定正确的是

（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

通过构造函数得出的不等关系，然后逐项检验即可

【详解】

设

则

所以

设,令,得

易知函数在单调递减

所以,即,即

,所以对

,所以B错

,所以C错

,所以错

故选：A

7．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.

【详解】

不等式即 ，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是3,4,5,6，故，

当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；

当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是 ，故，，

故实数m的取值范围为，

故选：C

8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题知，进而分和空集两种情况讨论求解即可.

【详解】

解：由题知，

因为，

所以，当时，，解得，

当时，或，解得，

综上，实数a的取值范围是.

故选：D

9．（2022·山西·二模（理））已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题知，进而根据题意求解即可.

【详解】

解：因为，，

若有2个元素，则或，解得或，

所以，实数的取值范围是.

故选：D．

10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.

【详解】

解：命题“”为假命题，其否定为真命题，

即“”为真命题．

令，

则，即，

解得，所以实数x的取值范围为.

故选：C

11．（2022·安徽黄山·二模（文））若集合，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.

【详解】

不等式化为：，解得：，则，

不等式，即，整理得：，解得，则，

所以.

故选：D

12．（2022·全国·二模（理））已知，则下列判断正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.

【详解】

对于A选项，取，，则，A错；

对于B选项，因为函数、均为上的增函数，

所以，函数在上为增函数，

因为，则，即，B对；

对于C选项，因为，则，所以，，C错；

对于D选项，取，，则，D错.

故选：B.

13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知，则下列不等关系中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．

【详解】

对A，由，得，当，时，A错误；

对B，当，时，B错误；

对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：

对D，由，得，所以，因为，所以D正确．

故选：CD．

1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】

由可得，而，所以，即，所以．

又，所以，即，

所以．综上，．

故选：A.

2．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.

【详解】

法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

【点睛】

思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

3．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可根据图像得出结果.

【详解】

结合图像易知，

不等式的解集，

故选：A.

4．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（       ）

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

【答案】C

【解析】

【分析】

对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】

因为，所以且，设，则的零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

【点晴】

本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.

5．（2020·全国·高考真题（文））已知集合则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】

由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

6．（多选题）（2022年新高考全国II卷）若x，y满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】

因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

7．（多选题）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

8．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

【详解】

或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.

9．（2019·天津·高考真题（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

通过因式分解，解不等式．

【详解】

，

即，

即，

故的取值范围是．