【备战2023高考】数学专题讲与练-考向09《幂函数与二次函数》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向09 幂函数与二次函数

【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
【2022·上海·高考真题】下列幂函数中，定义域为的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0
【详解】
对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
故答案选：

1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低")，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.
2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).
3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.

1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布
图像
限定条件












在区间内
没有实根











在区间内
有且只有一个实根




在区间内
有两个不等实根


4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.


1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数





图象





定义域





值域





奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点

4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.

（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.


1．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））若函数的值域为，则 的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知关于x的方程在区间上有实根，那么的最小值为________．
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
6．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.



1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．且
4．（2022·四川·宜宾市教科所三模（文））若函数的值域为，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
5．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（　　）
A．的最大值为-a B．的最小值为-a
C． D．
6．（2022·北京市第十二中学三模）若函数的值域为R，则a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（       ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
10．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是（       ）
A．1 B． C．1或 D．
二、填空题
11．（2022·广东·模拟预测）已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．
12．（2022·江苏南通·高三期末）已知函数若，则的最大值为_________．
13．（2022·全国·高三专题练习）函数，，，当时，，且的最大值为，则_______．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．
15．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为__________.
16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.

1．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（       ）
A． B． C． D．
2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（       ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
3．（2013·浙江·高考真题（文））已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（       ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
4．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
5．（2014·上海·高考真题（理））若是的最小值，则的取值范围为.
A．[-1，2] B．[-1，0] C．[1，2] D．
6．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（       ）
A． B． C． D．
8．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．
9．（2017·北京·高考真题（文））已知，，且，则的取值范围是_____.
10．（2015·湖北·高考真题（文））为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.
11．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
12．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.



1．【答案】B
【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，
因为二次函数的值域为，则，
且，所以，，可得，则，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
2．【答案】C
【解析】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
3．【答案】B
【解析】因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
4．【答案】5
【解析】因为，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为5．
故答案为：5.
5．【答案】（答案不唯一）；
【解析】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
6．【答案】##
【解析】函数过定点，
如图：

结合图象可得：，
即，
故答案为：，．

1．【答案】A
【解析】当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
2．【答案】C
【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，
由，即恒过且，
所以上，上，
而在上递增，且上，上，
所以的解集为.
故选：C
3．【答案】D
【解析】作出的图象，由图可知，
若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，
设切点为，所以，，
所以切线斜率为，
整理得，即方程在上有两个不同的解，
所以，，
所以且.
故选：D．

4．【答案】C
【解析】当时，f(x)=，
当时，f(x)=，
故要使的值域是，则0≤≤1，解得．
故选：C．
5．【答案】D
【解析】依题意，，
因，则是奇函数，于是得，即，
因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；
，，，
即，，因此，C不正确，D正确.
故选：D
6．【答案】D
【解析】解：由时，，
因为函数的值域为R，所以当时，，
分两种情况讨论：
①当时， ，所以只需，解得，所以；
②当时，，所以只需，显然成立，所以.
综上，的取值范围是.
故选：D.
7．【答案】A
【解析】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
8．【答案】D
【解析】由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
9．【答案】A
【解析】
利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
10．【答案】A
【解析】由幂函数定义得，
解得或.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故选：A
二、填空题
11．【答案】
【解析】解：因为，
所以的最大值为，
易知函数有三个零点，
等价于函数的图象与直线有三个交点，
因为，
所以当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又当时，；当时，，函数的图象如下所示：

结合函数图象可知，若函数的图象与直线有三个交点，则．
故答案为：
12．【答案】
【解析】令，
作出的图象和的图象如图所示：

由图知：，不妨设，若求最大值，则，，
所以，，
所以，
当即时，取得最大值为，即的最大值为，
故答案为：.
13．【答案】2
【解析】因为，
所以在，上单调递增，
所以，
因为当时，，
所以，则，
又因为 ，
所以 ，则 ，
所以，
令，且对称轴为 ，
因为当时，，
所以，
则 ，
所以，
故答案为：2
14．【答案】或##3或1
【解析】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，
故函数的图象关于直线对称，
则函数的最大值只能在或处取得，
若时，函数取得最大值3，
则，，
当时，时，，满足条件；
当时，时，，不满足条件；
若时，函数取得最大值3，
则，，或，
当时，时，，不满足条件；
当时，时，，满足条件；
综上所述：值为1或3；
故答案为：1或3．
15．【答案】##1.2
【解析】由题意知： , 的值域为，
∴，则，
又，
∴，当且仅当 时取等号，故目标式最大值为.
故答案为：.
16．【答案】
【解析】根据题意，函数，分三种情况讨论：
①若，，其值域为，不符合题意；
②若，当时，，有最大值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，不符合题意；
③若，当时，，有最小值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，故有，即的范围为
故答案为：
17．【答案】
【解析】由题易知，即，
所以，
又，
所以.
下证时，在上最大值为3.
当时，，;
当，若，即，
则，满足;
若，即，
此时，
而，满足;
因此，符合题意.

1．【答案】C
【解析】函数的对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
2．【答案】C
【解析】，最大值是1，A正确；
对称轴是直线，B正确；
单调递减区间是，故C错误；
令的，故在函数图象上，故D正确，
故选：C
3．【答案】A
【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
4．【答案】B
【解析】
【详解】
因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
5．【答案】D
【解析】
【详解】
由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．
【考点】分段函数的单调性与最值问题．
6．【答案】A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
7．【答案】C
【解析】对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
故答案选：
8．【答案】9．
【解析】
【详解】
的值域为，
，

又的解集为，
是方程的两根.
由一元二次方程根与系数的关系得，解得.
9．【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.
10．【答案】．
【解析】
【详解】
因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当时，函数
在区间上单调递增，所以；
②当时，此时
，，而，所以；
③当
时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最
大值；
④当时，在区间上递增，当时，取得最
大值，
则在上递减，上递增，即当
时，的值最小．
故答案为：．
考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题．
11．【答案】
【解析】，因为为奇函数，所以
故答案为：
12．【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.