【备战2023高考】数学专题讲与练-考向22《解三角形》（重点）全能练（新高考地区专用）

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考向22 解三角形

【2022·全国·高考真题（理）】记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解析】(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
【2022·全国·高考真题】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．

解答三角高考题的策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”．
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系．
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．

1．方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式





解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

1．基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式

；
；
．
常见变形
（1），，；
（2），，；

；
；
．
（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
2．相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角大角对大边

③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
3．实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．


1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（       ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．
4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到点的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 千米/秒．

（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；
（2）求静止目标到海防警戒线的距离．（结果精确到 千米）．




5．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）若，，D为AC边的中点，求的面积．




6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积．



7．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角对应的边分别为，，向量与向量互相垂直．
（1）求的面积；
（2）若，求的值．



1．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则等于（       ）
A． B． C．或 D．
2．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（       ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （       ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里
5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（       ）
A．满足条件的不可能是直角三角形
B．面积的最大值为
C．是中点，的最大值为3
D．当时，的面积为
6．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（       ）
A．当A，B为底面圆直径的两个端点时，
B．△PAB面积的最大值为
C．当△PAB面积最大值时，三棱锥C-PAB的体积最大值为
D．当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为
7．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，为其外心，，若，则________．
9．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为___________________．
10．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为______．
11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．

12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝2，.

(1)若，求BD的长；
(2)若，且AB＝4，求AC的长.




13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．
(1)求角B的大小；
(2)若，求．




14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)当时，在中（所对的边分别为、、），若，且的面积为，求的值．





15．（2022·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．




16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值．




17．（2022·上海金山·二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，证明：是直角三角形.




18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．




19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．

(1)当，时，求的长；（结果精确到米）
(2)当时，求面积的最大值及此时的值．




20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？







1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（       ）

A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（       ）
A．1 B． C． D．3
3．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
5．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
6．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
7．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
8．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．




9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．




10．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．




11．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．





12．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．




13．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：

14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）




15．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．




16．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．




17．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；




18．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.


1．【答案】B
【解析】由题意得，所以，
又因为，所以，
所以，其中，且，
所以的取值范围为，
故选：B．
2．【答案】C
【解析】△ABC中，，则
又，则
由，可得，代入
则有，则，则
又，则△ABC的形状是等边三角形
故选：C
3．【答案】
【解析】，则原等式为，由正弦定理得，
，当且仅当时取等号．
故答案为：．
4．【解析】（1）根据题意可得：（千米）， （千米）， （千米）， （千米），
∵，则
即，解得
（2）在△中，，则
设到的距离为（千米），则
∴
静止目标到海防警戒线的距离为千米
5．【解析】（1）由，有，两边同乘得，故，即．
因为，所以A为锐角，，所以．
又因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．
故．
6．【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又，所以．
因为，所以，
所以，所以．
（2）由余弦定理，得，即，
因为，
所以，
所以
7．【解析】（1）因为，解得，
因为，所以，．
有因为，所以，
所以的面积．
（2），
所以．

1．【答案】C
【解析】由正弦定理,得，
因为，故或，
故选：C
2．【答案】A
【解析】在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即

因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以.
故选：A

3．【答案】A
【解析】由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
4．【答案】A
【解析】由题意可知，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因为，
所以，
在中，由余弦定理得


，
故选：A
5．（多选题）【答案】BD
【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，
设，由，得，即，
，化简得：，
即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）.
如图所示：

对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则
为直角三角形，错误；
对于：由图得面积的最大值为正确；
对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误；
对于D：若，则，，


正确.
故选：BD
6．（多选题）【答案】ACD
【解析】对于A，记圆锥底面圆心为O，，所以，所以，故A正确；
对于B，设，则截面三角形的面积，故B不正确；
对于C，由选项B中推理可知，此时，所以点C到AB的距离的最大值为，从而可知三棱锥C-PAB的体积最大值为，故C选项正确；
对于D，由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，
记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号，故D选项正确；
故选：ACD．
7．（多选题）【答案】ABC
【解析】对于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，则成立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误．
故选：ABC．
8．【答案】
【解析】设外接圆的半径是，


．
设，则在等腰中，．
所以．
故答案为：.
9．【答案】
【解析】解：可令
将上式相加：
由此可解的：
由正弦定理：
又因为：
解得：a=3，b=5，c=7.所以
代入海伦公式解得：S=
故答案为：
10．【答案】
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
又，所以，
∴.
故答案为：．
11．【答案】②③
【解析】对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
12．【解析】(1)∵，∴.
又∵，所以，
∴在中，由正弦定理，可得，即BD的长为.
(2)，
∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，
∴，
可得，解得.
∴AC的长为.
13．【解析】(1)因为，
所以，.
又因为，所以.
(2)因为，所以，
即，
所以，.
因为，，
所以，即.
.
14．【解析】(1)任取                                             
因为函数为偶函数.所以                                                                                                                
（法二：特值法，再验证）由函数为偶函数知，（可取不同特殊值）
得，t=0                                                                              
又当时，，函数为偶函数，     
（法三：观察法，需举反例），
时，函数为偶函数，                              
任选，则有     
当时，举反例，如，          
此时为非奇非偶函数，所以，函数为偶函数时；
(2)当时,，                                
由则有                           
由题意，                                           
在中，，
则．
15．【解析】(1)因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
16．【解析】(1)由，可得，
得，则，
由于，所以．
(2)由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为．
17．【解析】(1)由正弦定理可知，，

又在中，，即，
为锐角，.
(2)
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，
即
为直角三角形.
18．【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，
整理得：，由余弦定理得：，而，解得，
所以.
(2)由（1）知，即，因为锐角三角形，即，解得，
由正弦定理得：，
则，
当时，，，而，
即，因此，，则，
所以周长的取值范围是.
19．【解析】(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．
因此的长约为米．

(2)连接．由题意，，，
在△中，由正弦定理，得．
于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米

20．【解析】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积
(2)设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小



1．【答案】A
【解析】如图所示：

由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
2．【答案】D
【解析】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
3．【答案】         
【解析】由题意作出图形，如图，

在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
4．【答案】.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
             
5．【答案】【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.

             
     
6．【答案】【解析】根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
7．【答案】
【解析】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
8．【解析】(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
9．【解析】(1)因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
10．【解析】(1)由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
11．【解析】(1)解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
12．【解析】(1)由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)由正弦定理得：，则，则，.
13．【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
14．【解析】(1)设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，

在直角中，




(2)设,，则，



所以梯形的面积为

当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
15．【解析】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
16．【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
17．【解析】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
18．【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】
(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.