【备战2023高考】数学专题讲与练-考向29《解决空间问题中的平行与垂直问题》（十一大经典题型）全能练（新高考地区专用）

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考向29解决空间问题中的平行与垂直问题

经典题型一：平行的判定
经典题型二：线面平行构造之三角形中位线法
经典题型三：线面平行构造之平行四边形法
经典题型四：线面平行转化为面面平行
经典题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
经典题型六：面面平行的证明
经典题型七：面面平行的性质
经典题型八：垂直性质的简单判定
经典题型九：证明线线垂直
经典题型十：证明线面垂直
经典题型十一：证明面面垂直

（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【解析】在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，

设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.

选项BCD解法二：
对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；

对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；

故选：A.
（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．

证明：平面平面；
【解析】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.

方法技巧一：直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行


面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面


3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行


方法技巧二：两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行



线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行

∥
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面


性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）


面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线


方法技巧三：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
方法技巧四：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直


面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


_

_
a


平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直


_





平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
a
_
b
_
a


方法技巧五：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a
_
b
_
a


垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行


_





线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直


方法技巧六：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
方法技巧七：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直


_



方法技巧八：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


_

_
a



一．线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．

性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面

（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
二．线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面


经典题型一：平行的判定
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（    ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】D
【解析】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；

因为，，所以平面平面，
而平面与平面相交，则B选项不正确；
在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；
设的中点为G，因为，所以，
又因为，，所以，
所以平面，所以平面平面，则D选项正确.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】对于①，或，故①错误；
对于②，，，又，所以，故②正确；
对于③，，，故③正确；
对于④，若与相交，则与相交或平行，故④错误.
故正确的结论的个数是2.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A，如图，易得平面平面，但平面与相交，故直线与平面不平行；

对B，如图，为所在棱的中点，根据中位线的性质有，且，，故平行四边形，故，故，故直线与平面平行.

对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；

对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；

故选：A  
经典题型二：线面平行构造之三角形中位线法
4．（2022·北京四中高三开学考试）如图，在直三棱柱中，，，是中点.

求证：平面；
【解析】连接，交于点N，连接，如图

直三棱柱中，是的中点，又是中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
5．（2022·北京·高三开学考试）如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，∠ABC为直角，，M，N分别为，AC的中点.

求证：平面；
【解析】连接， 在中，
因为是，的中点，
所以∥，                                                 
又平面，平面                           
所以平面.
6．（2022·江苏省包场高级中学高三开学考试）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB.

证明：MN平面PDC；
【解析】在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝，
则BM＝×＝，由＝＝，可得MN∥PD，
而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，可得MN∥平面PDC.
经典题型三：线面平行构造之平行四边形法
7．（2022·江苏南通·高三开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.

求证：平面；
【解析】在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，如图，

因为棱的中点，则，，
因平面，有平面，而平面，则，
则有，在直角梯形中，，又是边长为2的等边三角形，
即，又，因此，而，则，
于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，
所以平面.
8．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.

证明：平面.
【解析】由题意可得，在等腰梯形中，，
在中，因为，
所以，四边形为正方形.
在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，

所以，且，
在正方形中，因为是的中点，
所以，且，
所以，且，
∴四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面；
9．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.

证明：直线平面；
【解析】证明：取中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
又为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.
又平面平面，所以直线平面.
经典题型四：线面平行转化为面面平行
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，AB=4，，G为AB的中点，E，F分别在线段，AC上，且，求证：平面.

【解析】在长方体中，取的中点，连接，如图，

因G为AB的中点，则，而平面，平面，从而平面，
四边形为矩形，而，则有，又，
即有四边形为平行四边形，则，而平面，平面，
从而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，
从而平面.
11．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．

求证：平面；
【解析】，平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，
平面平面，平面，
平面；
12．（2022·四川巴中·模拟预测（理））如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．

证明：平面；
【解析】由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面∥平面，平面，平面；
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，，BF=2，AB=1，．

(1)求证：BC⊥AF；
(2)求证：AF//平面DCE；
【解析】（1）四边形ABCD为矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC，平面ABF，，
则有BC⊥平面ABF，而平面ABF，所以BC⊥AF．
（2）因，平面CDE，平面CDE，则平面CDE，
矩形ABCD中，，平面CDE，平面CDE，则平面CDE，
又平面ABF，，于是得平面平面CDE，而平面ABF，所以平面DCE．
14．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中分别为，，，的中点，求证：∥平面

【解析】证明：∵P，D分别为，的中点，
∴∥，且平面，平面，
∴∥平面，
∵D，N分别为，的中点，
∴∥，且平面，平面，
∴∥平面，又，平面，
∴平面∥平面，
又∵平面PDN，
∴∥平面.
经典题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
15．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．

求证；
【解析】，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
16．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，，.记平面与平面的交线为.

证明：；
【解析】因为，平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
17．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.

(1)证明：；
【解析】（1）在三棱柱中，面，面，
所以面，又过的平面面，
所以.
经典题型六：面面平行的证明
18．（2022·上海·高三开学考试）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，．

(1)求证：平面平面；
【解析】（1）证明：，平面，平面，平面，
因为四边形为矩形，则，
平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，，求证：平面∥平面

【解析】证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以 ∥平面，
同理可证：∥平面．
又，平面,平面
所以平面∥平面．

20．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点．证明：平面平面；

【解析】证明：连接EG，．
因为E，G分别是棱，的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
因为E，F分别是棱，的中点，所以．
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，
所以平面平面．

21．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，、、分别是、、的重心，求证：平面平面.

【解析】连接、，如图，因、、分别是、、的重心，

则有、、分别为、、的中点，且，
因此， ，
平面，平面，于是得平面，
平面，平面，于是得平面，，平面，
所以平面平面.
经典题型七：面面平行的性质
22．（2022·全国·高三专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：

(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）

在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
23．（2022·山西长治·模拟预测（理））在四棱锥中，底面平分为的中点，，分别为上一点，且.

(1)求的值，使得平面；
【解析】（1）证明：在中，为直角，且，
所以，可得，
又因为平分，所以，
因为，
由余弦定理可得，所以.
当时，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，且平面，平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
24．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【解析】连接交于点，连接，如下图所示：

由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
经典题型八：垂直性质的简单判定
25．（2022·安徽·高三开学考试）在正方体中，点在线段上，点为线段的中点，记平面平面 ，则下列说法一定正确的是（    ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】由题意得，，平面,平面,则平面，又平面平面，∴，因为平面,平面,故平面,因此平面．故D正确
而，平面,平面,则平面,故平面,选项A错误，同理选项B错误；
由于与相交不垂直，故与平面不垂直，因此不垂直平面，故C错误；
故选：D．
26．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知正方体中，是的中点，则下列结论正确的是（    ）
A．与相交 B．
C．平面 D．平面
【答案】B
【解析】对于A，由题意可作图如下：

因为与异面，故A错误；
对于B，连接在正方体中，如下图：

，平面，因为平面，所以，
因为，所以平面，平面，
所以，故B正确；
对于C，连接，如下图：

可得平面，因为与不平行，所以不垂直平面，
故C错误；
对于D，取中点，连接，如下图：

则，因为交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D错误．
故选：B.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，所以且；
当且，，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立．综上，“”是“且”的充分不必要条件．
故选：A．
28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是正方体的中心O关于平面的对称点，则下列说法中正确的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面
【答案】B
【解析】

连接、，交于点，连接、，交于点.
连接、、、、.
由题可知，在平面上，所以与共面，故A错误；
在四边形中，且，所以四边形为平行四边形.
.
平面，平面，平面，故B正确；
由正方体的性质可得，因为，所以，又，平面， ，又，
，而与所成角为，所以显然与不垂直，故C错误；
显然与不垂直，而平面，所以与平面不垂直，故D错误.
故选：B.
经典题型九：证明线线垂直
29．（2022·河北邯郸·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面.

(1)证明：；
【解析】（1）证明：由题意，设，又，
得，又，
所以，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以；
30．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））如图，三棱柱中，，交于点O，AO⊥平面.

(1)求证：；
【解析】（1）证明：∵AO⊥平面，平面，∴，
∵，，∴，∴四边形为菱形，∴，
又，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴.
31．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.

(1)求证：；
【解析】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，，，则，所以，
又，平面，平面，所以平面，平面，所以.
经典题型十：证明线面垂直
32．（2022·广西·模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.

(1)证明：平面；
【解析】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以，
因为，即，所以，
又，平面，所以平面；

33．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是平行四边形.为的中点.

(1)证明: 平面.
【解析】（1）因为平面，平面，则，而，，平面，
于是得平面，因，且为的中点，即有，
又，因此四边形是平行四边形，则，
所以平面．
34．（2022·广西·模拟预测（理））如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.

(1)证明：平面；
【解析】（1）

连接，因为四边形是菱形，所以，
因为，所以
为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以.
因为，即，所以.
又，平面，平面，所以平面；
经典题型十一：证明面面垂直
35．（2022·河南·高三阶段练习（理））在三棱柱中，平面平面，三角形是等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；
【解析】（1）证明：因为，，，
所以，
则，即，
所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
36．（2022·湖南·模拟预测）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，．

(1)求证：平面平面；
【解析】（1）（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面．
37．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）如图（一）所示，四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二）所示，且.

(1)证明：平面平面EBCD；
【解析】（1）证明：在等腰梯形中，，所以，所以，
因为，，，
可得，，，
在中，由余弦定理得，
在等腰梯形中，，
因为，可得，所以，
又因为面EBCD，，所以面,
因为面，所以平面平面.
38．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）在四棱锥中，．

(1)证明：平面平面﹔
【解析】（1）在平面四边形ABCD中，，所以四边形ABCD是等腰梯形，过点作于,因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以,,
，
所以，所以，
又，BC，平面，所以平面，        
又平面，所以，平面平面.

1．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（    ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；

连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
2．（多选题）（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
3．（2022·天津·高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

求证：平面；
【解析】证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
4．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．

证明：；
【解析】证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；

5．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

证明：；
【解析】过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
6．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

证明：平面；
【解析】证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

7．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）解法1：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.

解法2：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，

连接




8．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】（1）如图所示：

，
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示：

，
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．
9．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

求证：平面；
【解析】取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，