【备战2023高考】数学专题讲与练-考向35《离心率的多种妙解方式》（十四大经典题型）全能练（新高考地区专用）

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考向 35 离心率的多种妙解方式

经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
经典题型二：圆锥曲线的定义
经典题型三：利用正弦定理
经典题型四：利用余弦定理
经典题型五：内切圆问题
经典题型六：椭圆与双曲线共焦点
经典题型七：利用最大顶角
经典题型八：基本不等式
经典题型九：已知范围
经典题型十：
经典题型十一：中点弦
经典题型十二：坐标法
经典题型十三：四心问题
经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率

（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
（多选题）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，




选A
情况二

若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，



所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法

特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，

特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.


求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
1．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ）
A．或 B． C． D．或
2．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．
5．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知双曲线的右焦点为，为右支上一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
经典题型二：圆锥曲线的定义
6．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（    ）
A． B． C． D．
8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
经典题型三：利用正弦定理
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
经典题型四：利用余弦定理
13．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
14．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
15．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
经典题型五：内切圆问题
16．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 ________．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线分别为其左､右焦点，若点P在双曲线的右支上，且的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为___________.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，的左右焦点记为，，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为______．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知点F为双曲线的左焦点，A为直线在第一象限内的点，过原点O作的垂线交于点B，且B恰为线段的中点，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率大小为_________．
经典题型六：椭圆与双曲线共焦点
22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（   ）
A．， B．， C．， D．，
23．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）对于以，为公共焦点的椭圆和双曲线，设是它们的一个公共点，，分别为它们的离心率.若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
24．（2022·重庆一中高二期中（文））已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值是______.
25．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二阶段练习（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且．若，则_______
26．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值是__________．
27．（2022·黑龙江·宾县第一中学高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为______.
经典题型七：利用最大顶角
28．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
29．（2022·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(    )
A． B． C． D．
经典题型八：基本不等式
31．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
32．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
33．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
经典题型九：已知范围
34．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
35．（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
36．（2022·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（    ）
A． B． C． D．
经典题型十：
37．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
38．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
39．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
经典题型十一：中点弦
40．（2022·全国·高三专题练习）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
41．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：上存在两点，关于直线对称，且线段中点的横坐标为2，则椭圆的离心率是______．
42．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
43．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是___________.
经典题型十二：坐标法
45．（2022·全国·高三开学考试）椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
46．（2022·全国·模拟预测（理））已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
47．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
48．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（理））已知是双曲线的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且，l交T于点M，交于点Q，若，则双曲线T的离心率e的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
经典题型十三：四心问题
49．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.
51．（2022·全国·高三开学考试（文））瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴与双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为，则该双曲线的离心率可是以是①，②，③，④，⑤.以上结论正确的是_______.
52．（2022·全国·高三专题练习）已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.
53．（2022·山东·济南市历城第二中学高三开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是________．
54．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________

经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率
55．（2022·全国·高三专题练习）设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．
56．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为___________.
57．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
58．（2022·江西南昌·高三阶段练习）如图，分别是双曲线的右顶点和右焦点，过作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若，则的离心率为____．

59．（2022·四川广安·模拟预测（文））过双曲线（）的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P，为左焦点，直线的倾斜角为，则双曲线的离心率e为_______.

1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
3．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
7．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
8．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
9．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.


经典题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
1．【答案】A
【解析】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
2．【答案】C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．

3．【答案】A
【解析】由题可知，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
4．【答案】D
【解析】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
5．【答案】B
【解析】不妨设点在轴的上方，因为轴，将点的横坐标代入，
得.
由题意可知，且，则有，即，
则，即，
则.
故选:B.
经典题型二：圆锥曲线的定义
6．【答案】C
【解析】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．

7．【答案】D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：

因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
8．【答案】C
【解析】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故选：C.
9．【答案】B
【解析】不妨设点、，则、，
所以，
，同理可得，
由题意可得，即，所以，，
因此，双曲线关于轴对称，故点、关于轴对称，
将代入双曲线方程可得，解得，则，
由双曲线的定义可得
因为为等边三角形，则，即，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
经典题型三：利用正弦定理
10．【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
11．【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
12．【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
经典题型四：利用余弦定理
13．【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
14．【答案】
【解析】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案为：

15．【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
经典题型五：内切圆问题
16．【答案】
【解析】如图所示，由椭圆定义可得，，
设的面积为，的面积为，因为，
所以，，即，
设直线，则联立椭圆方程与直线，可得
，
所以，，
令，则，
当时，有.
故答案为：

17．【答案】【解析】设的内切圆与，的切点分别为，，
由切线长定理可知，，，
又，
所以

由双曲线的定义可知，
所以，又，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：

18．【答案】
【解析】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得
故答案为：
19．【答案】3
【解析】设的内心为I，过I作轴于H.

由三角形内切圆的性质知：①.
又②，③，
由①②③得：.
∴，故离心率.
故答案为：3
20．【答案】
【解析】由题意可知，，
设双曲线一条渐近线方程，

则直线的方程，
联立方程组，
消去可得，解得，
，
点的坐标为，
设，，
由三角形的面积可得，
化简可得①，
又②，
由①②解得，
设直线的倾斜角为，过点作轴，垂足为，则，
，
在，，
，
整理可得，即，
解得，（舍去）．
故答案为：．
21．【答案】
【解析】如图所示，设，
由题意知，点在渐近线上，点在直线上，
可得，
因为为线段的中点，且，所以，解得，
所以，则，
因为的内切圆半径为，
所以，即，
化简得，即，所以离心率为.
故答案为：.

经典题型六：椭圆与双曲线共焦点
22．【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
23．【答案】D
【解析】设椭圆方程是1，双曲线方程是1，
由定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
在△F1PF2中由余弦定理可得，
（2c）2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2+2（a1+a2）（a1﹣a2）cos60°，
即4c2＝a12+3a22，
∴4，
由柯西不等式得（1）（）≥（1）2＝（）2，
即（）24，
即，当且仅当e1，e2时取等号．
故选D．
24．【答案】
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为，，设两曲线的焦距为，
设，，则，，所以，，
，
化为，，
，
，
当且仅当时，取等号，则的最小值是.
故答案为：.
25．【答案】
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，解得，，
设，．则：
在△中由余弦定理得，，
化简得：，该式可变成：．
．又，解得，所以．
故答案为：
26．【答案】
【解析】设椭圆方程是,双曲线方程是,由定义可得 ,在中由余弦定理可得,即
.
当且仅当时等号成立.
故答案为.
27．【答案】
【解析】设椭圆方程是 ,双曲线方程是
由椭圆和双曲线定义可得:
即可求得:
在中由余弦定理可得:


即

利用柯西不等式
即
即
可得,
故,当且仅当 取等号.
的最小值为
故答案为:.
经典题型七：利用最大顶角
28．【答案】A
【解析】如图：

当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
29．【答案】B
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，

由椭圆的对称性得,所以，
所以，
所以椭圆的离心率，
因为椭圆的离心率.
当椭圆的焦点在轴上时，同理可得.
综合得.
故选：B
30．【答案】C
【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，

∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
经典题型八：基本不等式
31．【答案】B
【解析】如图所示：

设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
32．【答案】A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以

，
所以，则，解得，
故选：A.
33．【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，

∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
经典题型九：已知范围
34．【答案】D
【解析】易知点、、、，则线段的方程为，
在线段上取一点，满足，则，
，，
所以，，
整理可得，
由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根，
则，可得，可得，
所以，.
故选：D.
35．【答案】B
【解析】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
36．【答案】B
【解析】设，由椭圆的方程可得，，，
则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故选：B
经典题型十：
37．【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
38．【答案】A
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即，
因为 ，所以，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
39．【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
经典题型十一：中点弦
40．【答案】
【解析】设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.
又，相减得：.
所以
所以
所以，所以，即离心率.
故答案为：.
41．【答案】
【解析】由题意可知直线AB的斜率为1．设，，
∵线段AB中点的横坐标为2，∴，解得，
则，．又，，
两式相减可得，
即.
于是，解得，
∴椭圆C的离心率．
故答案为：
42．【答案】【解析】设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，
①②两式相减可得，即，
．
故答案为：．
43．【答案】
【解析】解法一  由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．
解法二  由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．
故答案为：
44．【答案】
【解析】设，，，在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
又为线段的中点，所以
，即，即，所以.
故答案为：
经典题型十二：坐标法
45．【答案】B
【解析】，，则AF：，，满足,
消去得，，
是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以．
故选：B．
46．【答案】A
【解析】由解得，所以曲线C是椭圆．
因椭圆C的焦点在x轴上，则．
因为，所以，
不妨设，，，，
由题意知，则，即，
．
故选：A．
47．【答案】B
【解析】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合图像可知，由可得：，，解得，根据可知，，解得，于是.
故选：B

48．【答案】B
【解析】不妨设的方程为，设的方程为，，
因为，所以直线l的方程为：，
由，即，
由，即，
因为，
所以由，
故选：B
经典题型十三：四心问题
49．【答案】
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＋＝0.(*)
因为△ABF1的重心为G，
所以故
代入(*)式得，
所以＝＝，即a2＝3b2，
所以椭圆C的离心率e＝.
故答案为：
50．【答案】
【解析】设，，坐标分别为，
因为的重心恰好是坐标原点，则，
则，代入椭圆方程可得，
其中，所以……①
因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，
联立方程消去可得：，
所以，……②
所以……③，
将②③代入①得，从而.
故答案为：
51．【答案】①③⑤
【解析】设直线的方程为，
令，可得，设直线与轴的交点，
双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，.
由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为，；
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为化为不成立；
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为，；
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为不成立；
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为，；
当、、依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为化为不成立.
故选：①③⑤.
52．【答案】
【解析】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：

因为，所以，
又C为的中点，所以为等腰三角形且，
因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，
由双曲线的定义知，则，
所以为等边三角形，则，
在中，即，化简得，
同时除以可得，解得或(舍去).
故答案为：
53．【答案】
【解析】设的内切圆的半径为，

由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
可得，
故，
故答案为：.
54．【答案】
【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率
55．【答案】
【解析】不妨设的倾斜角为锐角向量与同向，
渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，，
，，
，
，，成等差数列，，，
在直角中，，由对称性可知：的斜率为，
，，（舍去）；
，，，
故答案为：
56．【答案】
【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上，，
双曲线的一条渐近线为，
所以，，
所以离心率.
故答案为：.
57．【答案】
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
58．【答案】
【解析】由题可得，双曲线的一条渐近线为，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，即的离心率为为.
故答案为：.
59．【答案】
【解析】依题意右焦点，双曲线的渐近线为，令可得，即，
又左焦点，所以，所以，
所以离心率.
故答案为：





1．【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．【答案】A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．【答案】B
【解析】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
4．【答案】C
【解析】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
5．【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


7．【答案】
【解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．

8．【答案】2（满足皆可）
【解析】，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
9．【答案】
【解析】由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
10．【答案】         
【解析】

如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．