资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩45页未读，
继续阅读
所属成套资源：【新高考专用】高考数学一轮专题复习考点讲与练（含解析）
成套系列资料，整套一键下载
【备战2023高考】数学专题讲与练-考向37《计数原理与排列组合小题最全归纳》（十九大经典题型）全能练（新高考地区专用）
展开
这是一份【备战2023高考】数学专题讲与练-考向37《计数原理与排列组合小题最全归纳》（十九大经典题型）全能练（新高考地区专用），文件包含备战2023高考数学专题讲与练-考向37《计数原理与排列组合小题最全归纳》十九大经典题型全能练原卷版docx、备战2023高考数学专题讲与练-考向37《计数原理与排列组合小题最全归纳》十九大经典题型全能练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共95页， 欢迎下载使用。
考向37计数原理与排列组合小题最全归纳
经典题型一：两个计数原理的综合应用
经典题型二：直接法
经典题型三：间接法
经典题型四：捆绑法
经典题型五：插空法
经典题型六：定序问题（先选后排）
经典题型七：列举法
经典题型八：多面手问题
经典题型九：错位排列
经典题型十：涂色问题
经典题型十一：分组问题
经典题型十二：分配问题
经典题型十三：隔板法
经典题型十四：数字排列
经典题型十五：几何问题
经典题型十六：分解法模型与最短路径问题
经典题型十七：排队问题
经典题型十八：构造法模型和递推模型
经典题型十九：环排问题
（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
知识点1、分类加法计数原理
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
知识点2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.
知识点3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
知识点4、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
知识点5、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点6、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
经典题型一：两个计数原理的综合应用
1．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】携带工具方案有两类：
第一类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
第二类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
所以不同的安排方案共有种，
故选：A
2．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
【答案】A
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【答案】
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
6．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.
【答案】264
【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；
当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；
当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，
综上：96+144+24=264种选择
故答案为：264
经典题型二：直接法
7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种
A．54 B．72 C．96 D．120
【答案】A
【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A．
8．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ）
A．720种 B．600种 C．480种 D．384种
【答案】D
【解析】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，
再排，也有4种情况，余下4人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况．
故选：D.
9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B．
10．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（ ）．
A．10 B．30 C．40 D．46
【答案】C
【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人
若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；
若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；
故女教师最多为1人的选法种数为种
故选：C
经典题型三：间接法
11．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
12．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种 B．231种 C．238种 D．252种
【答案】B
【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，
则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.
故选：B
13．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
【答案】A
【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
14．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】所有演出方案有种，
歌舞类相邻有种，
小品类相邻有种，
歌舞与小品均相邻有种，
所以总数有种.
故选：C.
经典题型四：捆绑法
15．（2022·浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【解析】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
16．（2022·江西·高三开学考试（理））中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．
【答案】12
【解析】先将黄山排在首位，再将“五岳”中的名山（共3座）捆绑，再与庐山排列，
故郭靖同学针对这五座名山的游览顺序种数为．
故答案为：12.
17．（2022·湖北·高三开学考试）五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.
【答案】
【解析】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，
又张三站在最右边，只有种情况，
所以不同站法种数为种，
故答案为：.
18．（2022·全国·高三专题练习）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.
【答案】240
【解析】由题意可得将2位教师看成一个整体，再与4位学生全排列，
所以共有种排法，
故答案为：240
19．（2022·全国·高三专题练习（理））成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）
【答案】24
【解析】把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有种排法，
另两个位置排“商”“角”，有种排法，
“徵”“羽”又可交换顺序排列，有种排法，
故所求音序种数为.
故答案为：24.
经典题型五：插空法
20．（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）
【答案】144
【解析】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种；
再把其与英语书、生物书进行全排列，有种；
再用插空法安排物理书､化学书，有种；
所以一共有.
故答案为：144
21．（2022·全国·高三专题练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
【答案】2520
【解析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种.
故答案为：2520
22．（2022·全国·高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
【答案】44
【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：
第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种，
将女生插空时又分两种情形：
先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种；
空位两侧共排一名女生时计种，
共计种；
第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种，
综上，共计种．
故答案为：44
23．（2022·全国·高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．
【答案】
【解析】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有种排法
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有种排法
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：
24．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某等候区有个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有_______种 ．
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙、丁互不相邻，
将甲、乙、丙、丁四个人插入其它五个座位形成的六个空中，
有(种)不同的坐法.
故答案为：.
25．（2022·全国·高三专题练习）某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，间隔而坐”制度．若该学校的教室一排有8个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．(用数字作答)
【答案】120
【解析】因为四个空位可产生五个空，则这四个同学可用插空法就坐，
因此共有种不同的安排方法.
故答案为：120.
经典题型六：定序问题（先选后排）
26．满足，且的有序数组共有（ ）个.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．
故选：A．
27．五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．24种
【答案】C
【解析】所有人排成一排共有：种排法
站在右边与站在右边的情况一样多
所求排法共有：种排法
本题正确选项：
28．DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为.
故选：C
29．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ）
A．120种 B．80种 C．20种 D．48种
【答案】C
【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．
故选：C．
30．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B
【解析】6个高矮互不相同的人站成两排，
后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，
故选：B
31．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【答案】A
【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，
所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，
故选：A
经典题型七：列举法
32．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
【答案】C
【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：
经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，
故选：C.
33．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．12种
【答案】C
【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.
答案：C．
34．设，，，那么满足的所有有序数组的组数为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
【答案】C
【解析】①当时，，则，共1组；
②当时，，则，不同时为2，共组；
③当时，，则，为中任一元素，共组；
④当时，，则，不同时为0，共组．
故满足题意的有序数组共有47组．
故选：C.
35．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
【答案】A
【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
36．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
【答案】60
【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
经典题型八：多面手问题
37．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．
详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会左边的都不选，有种；
第二类个只会左边的有人入选，有种；
第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．
38．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
39．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
经典题型九：错位排列
40．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，
所以不同的坐法有种.
故选：B
41．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法.
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
故选：B.
42．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有种.
故选：.
经典题型十：涂色问题
43．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
【答案】66
【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故答案为：66
44．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
【答案】420
【解析】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有种，
用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有种，
用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有种，
所以不同的着色方法共有（种）.
故答案为：420
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.
【答案】 24 216
【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种.
先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下：
，，，共9种，所以：种.
故答案为：24；216.
46．（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．
【答案】48
【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法，
第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法，
故答案为：48
47．（2022·全国·高三专题练习（理））用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______．
【答案】120
【解析】根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况讨论：
（1）红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有种涂法，
（2）红色涂2个圆，
若红色涂第1，3个圆，有种涂法，
若红色涂第1，4个圆，有种涂法，
若红色涂第1，5个圆，则有种涂法，
若红色涂第2，4个圆，有种涂法，
若红色涂第2，5个圆，有种涂法，
若红色涂第3，5个圆，有种涂法，
此时有种，
所以共有种，
故答案为：120
48．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．
【答案】960
【解析】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法, 区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法.
故答案为：960．
49．（2022·全国·高三专题练习）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【答案】
【解析】首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，
所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法.
故答案为：
经典题型十一：分组问题
50．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
【答案】B
【解析】根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故一共有：种分派方法
故选：
51．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）
A．91 B．101 C．111 D．121
【答案】B
【解析】（1）若编号为，则有种，
（2）若编号为，则有种，
（3）若编号为，则有种，
（4）若编号为，则有种，
（5）若编号为，则有1种，
所以不同的指派方法种数为种.
故选：B.
52．已知有6本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】
（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为
经典题型十二：分配问题
53．（2022·全国·高三专题练习）某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且每班安排名，则不同的安排方案种数为 __．
【答案】
【解析】先把名学生均分两组有种方法，
然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法，
根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．
故答案为：.
54．（2022·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 __种
【答案】30
【解析】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：，
所以不同分法的种数有5＝30，
故答案为：30．
55．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______．
【答案】
【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，
然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，
所以共有种不同的分配方案.
故答案为：
56．（2022·上海市向明中学高三开学考试）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．
【答案】550
【解析】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，
若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，
若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，
综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.
故答案为：550
57．（2022·上海市南洋模范中学高三开学考试）将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）.
【答案】
【解析】由题意得4个小球有2个放在一个盒了里的种数是，
把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有种结果，
而编号为1，2号小球放在同一个盒子里有种结果，
所以编号为1，2的小球不放到同一个盒子里的种数是.
故答案为：30.
58．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________.
【答案】
【解析】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案，
则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，
第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案，
则公司的分派人数只能是1，1，则有种，
根据分类计数原理共有种，
故答案为：14．
59．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种.
【答案】150
【解析】5人分成3组，各组人数有1,1,3或1,2,2两类，
当各组人数为1,1,3时，不同的安排方案有种，
当各组人数为1,2,2时，不同的安排方案有种，
所以，不同的安排方案有150种.
故答案为：150
经典题型十三：隔板法
60．（2022·广东中山·模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
【答案】10
【解析】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
61．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某地举办庆祝建党周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.
【答案】
【解析】有个名额的队伍只能有一个，有种，剩余个名额分给其他个队伍，由隔板法知有种，
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
故答案为：.
62．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组．
【答案】
【解析】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法，
所以方程的非负整数解共有组.
故答案为：78
63．（2022·全国·模拟预测）六元一次方程的正整数解有________组．
【答案】126
【解析】的正整数解的组数为，
故答案为：.
64．（2022·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学模拟预测（理））关于，，的方程（其中，，）的解共有_____组．
【答案】15
【解析】将7分解成为7个1，现在将7个1分为三组，每一组都有1，则分组方式为，
即关于，，的方程（其中，，）的解共有15组.
故答案为：15.
65．（2022·全国·高三专题练习）方程的正整数解的个数__________.
【答案】
【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．
故答案为：
66．（2022·新疆乌鲁木齐·一模（理））已知数列共有26项，且，，，则满足条件的不同数列有__________ 个．
【答案】2300
【解析】，
或，
设有个，则有个，
，
所以，
解得，
即可知25个括号中有22个取1，
所以满足条件的不同数列有.
故答案为：2300.
经典题型十四：数字排列
67．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ ）
A．39个 B．40个 C．36个 D．38个
【答案】B
【解析】
故选：B
68．（2022·重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A．600 B．300 C．360 D．180
【答案】B
【解析】当最后一位为1时，共有种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，
把余下2个数字与9全排有种，
将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，
共有种；
综上，共有种.
故选：B
69．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A．120 B．168 C．204 D．216
【答案】C
【解析】先不考虑0的情况，
则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.
再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.
所以共
故选：C
70．（2022·海南·海口一中高三阶段练习）已知a1，a2，a3∈{2，4，6}，记N（a1，a2，a3）为a1，a2，a3中不同数字的个数，如∶N（2，2，2）=1，N（2，4，2）=2，N（2，4，6）=3，则所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】由题意，N（a1，a2，a3）共有种排列
若N（a1，a2，a3）=1，即共3种；
若N（a1，a2，a3）=2，有种；
若N（a1，a2，a3）=3，有种；
故所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为
故选：A
71．（2022·陕西省洛南中学高三阶段练习（理））由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，共有多少种排法（ ）
A．24 B．48 C．60 D．62
【答案】C
【解析】由题意，分两种情况讨论：
若个位为0，则共有种排法；
若个位为2、4，则首位有3种排法，共有种排法；
则共有24+36=60种不同排法
故选：C
72．（2022·辽宁·模拟预测）用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（ ）
A．81 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：
①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，
则此时四位数有2×2×2×2=16个；
②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，
此时四位数有4×2×2×2=32个，
故有16+32=48个四位数，
故选：B.
经典题型十五：几何问题
73．（2022·北京·中央民族大学附属中学高三阶段练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
【答案】C
【解析】考虑2×3的6块方格，如图：
每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌
一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.
只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.
如图所示
故选：C
74．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习（理））已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
【答案】B
【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为个，
故选B.
75．（2022·全国·高三专题练习）如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（ ）．
A．190 B．199 C．69 D．60
【答案】C
【解析】在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，
当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，
所以最多可以钻的孔数为个．
故选：C
76．（2022·全国·高三专题练习）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
【答案】A
【解析】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，
根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，
故选：A.
77．（2022·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
78．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.
故选：B.
经典题型十六：分解法模型与最短路径问题
79．5400的正约数有（ ）个
A．48 B．46 C．36 D．38
【答案】A
【解析】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为．
故选：A．
80．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】试题分析：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
共有8种，
故选B．
81．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有
A．10 B．13 C．15 D．25
【答案】C
【解析】因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果
根据分步计数原理知共有种结果，选C
82．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以
的方向行走至B，不同的行走路线有
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】A
【解析】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A.
经典题型十七：排队问题
83．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.
故选：C
84．（2022·安徽宿州·三模（理））新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有、、、、、六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
【答案】C
【解析】因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，
所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有中排法，
再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有中排法，
则有种排法.
故选：C.
85．（2022·全国·高三专题练习（理））七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【答案】D
【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
86．（2022·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】由题意，分三步进行分析：
①将名红队队员分成组，有种分组方法，将人的一组看成一个元素，考虑人之间的顺序，有种情况；
②将黄队的人全排列，有种排法，排好后，有个空位；
③在个空位中任选个，安排名红队队员分成的两个组，有种方法，
则人站成一排照相，名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种，
故选：A.
87．（2022·江苏·泰州中学模拟预测）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
【答案】A
【解析】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，
所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，
所以总排法有种.
故选：A
88．（2022·河南·模拟预测（理））受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
【答案】B
【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B
89．（2022·全国·高三专题练习）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
【答案】C
【解析】前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C．
经典题型十八：构造法模型和递推模型
90．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种.
【答案】
【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法;
设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种.
则2，即
因为
91．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：.
经典题型十九：环排问题
92．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为
A．19 B．38 C．51 D．57
【答案】D
【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D．
93．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【答案】B
【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，
根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，
其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，
故选B.
94．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
【答案】B
【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
故选：B．
1．（2015·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【解析】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A
2．（2009·湖南·高考真题（文））某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．16 C．20 D．48
【答案】B
【解析】由间接法得，故选B．
3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
4．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
5．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
6．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
7．（2009·四川·高考真题（理））3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A．360 B．288 C．216 D．96
【答案】B
【解析】先排三个男生有种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有，此时共有6×6×12=432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2×6×=144种不同的排法，∴共有432-144=288种不同排法．故选B
考点：本题考查了排列问题
点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
8．（2009·全国·高考真题（理））甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
【答案】C
【解析】由=30选C.
9．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
10．（2007·山西·高考真题（理））从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______________种.(用数字作答）
【答案】36
【解析】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法
考向37计数原理与排列组合小题最全归纳
经典题型一：两个计数原理的综合应用
经典题型二：直接法
经典题型三：间接法
经典题型四：捆绑法
经典题型五：插空法
经典题型六：定序问题（先选后排）
经典题型七：列举法
经典题型八：多面手问题
经典题型九：错位排列
经典题型十：涂色问题
经典题型十一：分组问题
经典题型十二：分配问题
经典题型十三：隔板法
经典题型十四：数字排列
经典题型十五：几何问题
经典题型十六：分解法模型与最短路径问题
经典题型十七：排队问题
经典题型十八：构造法模型和递推模型
经典题型十九：环排问题
（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
知识点1、分类加法计数原理
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
知识点2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.
知识点3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
知识点4、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
知识点5、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点6、排列和组合的区别
组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．
知识点7、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题，确定要做什么事；
2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；
3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；
4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．
1、如图，在圆中，将圆分等份得到个区域，，，，，现取种颜色对这个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有种．
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
经典题型一：两个计数原理的综合应用
1．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】携带工具方案有两类：
第一类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
第二类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种；
所以不同的安排方案共有种，
故选：A
2．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
【答案】A
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【答案】
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
6．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.
【答案】264
【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；
当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；
当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，
综上：96+144+24=264种选择
故答案为：264
经典题型二：直接法
7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种
A．54 B．72 C．96 D．120
【答案】A
【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A．
8．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ）
A．720种 B．600种 C．480种 D．384种
【答案】D
【解析】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，
再排，也有4种情况，余下4人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况．
故选：D.
9．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：B．
10．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（ ）．
A．10 B．30 C．40 D．46
【答案】C
【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人
若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；
若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；
故女教师最多为1人的选法种数为种
故选：C
经典题型三：间接法
11．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
故选：D
12．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）
A．21种 B．231种 C．238种 D．252种
【答案】B
【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，
则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.
故选：B
13．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
【答案】A
【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
14．红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】所有演出方案有种，
歌舞类相邻有种，
小品类相邻有种，
歌舞与小品均相邻有种，
所以总数有种.
故选：C.
经典题型四：捆绑法
15．（2022·浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【解析】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
16．（2022·江西·高三开学考试（理））中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）．
【答案】12
【解析】先将黄山排在首位，再将“五岳”中的名山（共3座）捆绑，再与庐山排列，
故郭靖同学针对这五座名山的游览顺序种数为．
故答案为：12.
17．（2022·湖北·高三开学考试）五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.
【答案】
【解析】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，
又张三站在最右边，只有种情况，
所以不同站法种数为种，
故答案为：.
18．（2022·全国·高三专题练习）现有4位学生和2位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有___________种.
【答案】240
【解析】由题意可得将2位教师看成一个整体，再与4位学生全排列，
所以共有种排法，
故答案为：240
19．（2022·全国·高三专题练习（理））成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）
【答案】24
【解析】把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有种排法，
另两个位置排“商”“角”，有种排法，
“徵”“羽”又可交换顺序排列，有种排法，
故所求音序种数为.
故答案为：24.
经典题型五：插空法
20．（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）
【答案】144
【解析】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种；
再把其与英语书、生物书进行全排列，有种；
再用插空法安排物理书､化学书，有种；
所以一共有.
故答案为：144
21．（2022·全国·高三专题练习）英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
【答案】2520
【解析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种.
故答案为：2520
22．（2022·全国·高三专题练习）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
【答案】44
【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：
第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种，
将女生插空时又分两种情形：
先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种；
空位两侧共排一名女生时计种，
共计种；
第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种，
综上，共计种．
故答案为：44
23．（2022·全国·高三专题练习）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．
【答案】
【解析】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有种排法
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有种排法
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：
24．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某等候区有个座位（连成一排），甲、乙、丙、丁四人随机就座，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有_______种 ．
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙、丁互不相邻，
将甲、乙、丙、丁四个人插入其它五个座位形成的六个空中，
有(种)不同的坐法.
故答案为：.
25．（2022·全国·高三专题练习）某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，间隔而坐”制度．若该学校的教室一排有8个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．(用数字作答)
【答案】120
【解析】因为四个空位可产生五个空，则这四个同学可用插空法就坐，
因此共有种不同的安排方法.
故答案为：120.
经典题型六：定序问题（先选后排）
26．满足，且的有序数组共有（ ）个.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．
故选：A．
27．五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．24种
【答案】C
【解析】所有人排成一排共有：种排法
站在右边与站在右边的情况一样多
所求排法共有：种排法
本题正确选项：
28．DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为.
故选：C
29．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ）
A．120种 B．80种 C．20种 D．48种
【答案】C
【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．
故选：C．
30．某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B
【解析】6个高矮互不相同的人站成两排，
后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，
故选：B
31．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【答案】A
【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，
所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，
故选：A
经典题型七：列举法
32．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
【答案】C
【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：
经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，
故选：C.
33．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．12种
【答案】C
【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.
答案：C．
34．设，，，那么满足的所有有序数组的组数为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
【答案】C
【解析】①当时，，则，共1组；
②当时，，则，不同时为2，共组；
③当时，，则，为中任一元素，共组；
④当时，，则，不同时为0，共组．
故满足题意的有序数组共有47组．
故选：C.
35．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个
A．98 B．56 C．84 D．49
【答案】A
【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.
又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，
所以这样的等差数列共有个.
故选：A
36．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
【答案】60
【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
经典题型八：多面手问题
37．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解．
详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会左边的都不选，有种；
第二类个只会左边的有人入选，有种；
第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．
38．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，
因此有种．
综上分析，共可开出种．
故选：B．
39．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法．
故选：C．
经典题型九：错位排列
40．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，
所以不同的坐法有种.
故选：B
41．将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法.
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
故选：B.
42．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有种.
故选：.
经典题型十：涂色问题
43．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
【答案】66
【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故答案为：66
44．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
【答案】420
【解析】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有种，
用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有种，
用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有种，
所以不同的着色方法共有（种）.
故答案为：420
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.
【答案】 24 216
【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种.
先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下：
，，，共9种，所以：种.
故答案为：24；216.
46．（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种．
【答案】48
【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法，
第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法，
故答案为：48
47．（2022·全国·高三专题练习（理））用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______．
【答案】120
【解析】根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况讨论：
（1）红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有种涂法，
（2）红色涂2个圆，
若红色涂第1，3个圆，有种涂法，
若红色涂第1，4个圆，有种涂法，
若红色涂第1，5个圆，则有种涂法，
若红色涂第2，4个圆，有种涂法，
若红色涂第2，5个圆，有种涂法，
若红色涂第3，5个圆，有种涂法，
此时有种，
所以共有种，
故答案为：120
48．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．
【答案】960
【解析】因为区域和各个区域都相邻，所以首先给区域染色有5种方法,区域、各有4种方法, 区域、一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法.
故答案为：960．
49．（2022·全国·高三专题练习）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【答案】
【解析】首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，
所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法.
故答案为：
经典题型十一：分组问题
50．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
【答案】B
【解析】根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故一共有：种分派方法
故选：
51．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）
A．91 B．101 C．111 D．121
【答案】B
【解析】（1）若编号为，则有种，
（2）若编号为，则有种，
（3）若编号为，则有种，
（4）若编号为，则有种，
（5）若编号为，则有1种，
所以不同的指派方法种数为种.
故选：B.
52．已知有6本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【解析】
（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为
经典题型十二：分配问题
53．（2022·全国·高三专题练习）某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且每班安排名，则不同的安排方案种数为 __．
【答案】
【解析】先把名学生均分两组有种方法，
然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法，
根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．
故答案为：.
54．（2022·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 __种
【答案】30
【解析】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：，
所以不同分法的种数有5＝30，
故答案为：30．
55．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______．
【答案】
【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，
然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，
所以共有种不同的分配方案.
故答案为：
56．（2022·上海市向明中学高三开学考试）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．
【答案】550
【解析】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，
若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，
若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，
综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.
故答案为：550
57．（2022·上海市南洋模范中学高三开学考试）将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）.
【答案】
【解析】由题意得4个小球有2个放在一个盒了里的种数是，
把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有种结果，
而编号为1，2号小球放在同一个盒子里有种结果，
所以编号为1，2的小球不放到同一个盒子里的种数是.
故答案为：30.
58．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________.
【答案】
【解析】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案，
则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，
第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案，
则公司的分派人数只能是1，1，则有种，
根据分类计数原理共有种，
故答案为：14．
59．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种.
【答案】150
【解析】5人分成3组，各组人数有1,1,3或1,2,2两类，
当各组人数为1,1,3时，不同的安排方案有种，
当各组人数为1,2,2时，不同的安排方案有种，
所以，不同的安排方案有150种.
故答案为：150
经典题型十三：隔板法
60．（2022·广东中山·模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）
【答案】10
【解析】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，
故答案为：10
61．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某地举办庆祝建党周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种.
【答案】
【解析】有个名额的队伍只能有一个，有种，剩余个名额分给其他个队伍，由隔板法知有种，
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
故答案为：.
62．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组．
【答案】
【解析】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法，
所以方程的非负整数解共有组.
故答案为：78
63．（2022·全国·模拟预测）六元一次方程的正整数解有________组．
【答案】126
【解析】的正整数解的组数为，
故答案为：.
64．（2022·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学模拟预测（理））关于，，的方程（其中，，）的解共有_____组．
【答案】15
【解析】将7分解成为7个1，现在将7个1分为三组，每一组都有1，则分组方式为，
即关于，，的方程（其中，，）的解共有15组.
故答案为：15.
65．（2022·全国·高三专题练习）方程的正整数解的个数__________.
【答案】
【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．
故答案为：
66．（2022·新疆乌鲁木齐·一模（理））已知数列共有26项，且，，，则满足条件的不同数列有__________ 个．
【答案】2300
【解析】，
或，
设有个，则有个，
，
所以，
解得，
即可知25个括号中有22个取1，
所以满足条件的不同数列有.
故答案为：2300.
经典题型十四：数字排列
67．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）从0，1，2，3，4这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2，3时，2要排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（ ）
A．39个 B．40个 C．36个 D．38个
【答案】B
【解析】
故选：B
68．（2022·重庆南开中学模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A．600 B．300 C．360 D．180
【答案】B
【解析】当最后一位为1时，共有种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，
把余下2个数字与9全排有种，
将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，
共有种；
综上，共有种.
故选：B
69．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A．120 B．168 C．204 D．216
【答案】C
【解析】先不考虑0的情况，
则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.
再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.
所以共
故选：C
70．（2022·海南·海口一中高三阶段练习）已知a1，a2，a3∈{2，4，6}，记N（a1，a2，a3）为a1，a2，a3中不同数字的个数，如∶N（2，2，2）=1，N（2，4，2）=2，N（2，4，6）=3，则所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】由题意，N（a1，a2，a3）共有种排列
若N（a1，a2，a3）=1，即共3种；
若N（a1，a2，a3）=2，有种；
若N（a1，a2，a3）=3，有种；
故所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为
故选：A
71．（2022·陕西省洛南中学高三阶段练习（理））由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数，共有多少种排法（ ）
A．24 B．48 C．60 D．62
【答案】C
【解析】由题意，分两种情况讨论：
若个位为0，则共有种排法；
若个位为2、4，则首位有3种排法，共有种排法；
则共有24+36=60种不同排法
故选：C
72．（2022·辽宁·模拟预测）用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（ ）
A．81 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：
①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，
则此时四位数有2×2×2×2=16个；
②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，
此时四位数有4×2×2×2=32个，
故有16+32=48个四位数，
故选：B.
经典题型十五：几何问题
73．（2022·北京·中央民族大学附属中学高三阶段练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
【答案】C
【解析】考虑2×3的6块方格，如图：
每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌
一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌.
只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌.
如图所示
故选：C
74．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习（理））已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
【答案】B
【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内，
所以五边形面数为个，
故选B.
75．（2022·全国·高三专题练习）如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（ ）．
A．190 B．199 C．69 D．60
【答案】C
【解析】在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形，
当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多，
所以最多可以钻的孔数为个．
故选：C
76．（2022·全国·高三专题练习）宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
【答案】A
【解析】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，
根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，
故选：A.
77．（2022·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
78．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.
故选：B.
经典题型十六：分解法模型与最短路径问题
79．5400的正约数有（ ）个
A．48 B．46 C．36 D．38
【答案】A
【解析】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为．
故选：A．
80．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】试题分析：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
共有8种，
故选B．
81．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有
A．10 B．13 C．15 D．25
【答案】C
【解析】因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果
根据分步计数原理知共有种结果，选C
82．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以
的方向行走至B，不同的行走路线有
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】A
【解析】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A.
经典题型十七：排队问题
83．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；
②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；
所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.
故选：C
84．（2022·安徽宿州·三模（理））新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有、、、、、六个班排队吃饭，班必须排在第一位，且班、班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
【答案】C
【解析】因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，
所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有中排法，
再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有中排法，
则有种排法.
故选：C.
85．（2022·全国·高三专题练习（理））七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．144种
【答案】D
【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
86．（2022·全国·高三专题练习）街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】由题意，分三步进行分析：
①将名红队队员分成组，有种分组方法，将人的一组看成一个元素，考虑人之间的顺序，有种情况；
②将黄队的人全排列，有种排法，排好后，有个空位；
③在个空位中任选个，安排名红队队员分成的两个组，有种方法，
则人站成一排照相，名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种，
故选：A.
87．（2022·江苏·泰州中学模拟预测）六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）
A．48 B．72 C．90 D．120
【答案】A
【解析】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，
所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，
所以总排法有种.
故选：A
88．（2022·河南·模拟预测（理））受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
【答案】B
【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B
89．（2022·全国·高三专题练习）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
【答案】C
【解析】前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C．
经典题型十八：构造法模型和递推模型
90．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种.
【答案】
【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法;
设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种.
则2，即
因为
91．一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________．
【答案】
【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）．
解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，，
，
，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）
故答案为：.
经典题型十九：环排问题
92．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为
A．19 B．38 C．51 D．57
【答案】D
【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D．
93．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【答案】B
【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，
根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，
其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，
故选B.
94．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
【答案】B
【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
故选：B．
1．（2015·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【解析】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A
2．（2009·湖南·高考真题（文））某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．16 C．20 D．48
【答案】B
【解析】由间接法得，故选B．
3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
4．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
5．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
6．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
7．（2009·四川·高考真题（理））3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A．360 B．288 C．216 D．96
【答案】B
【解析】先排三个男生有种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有，此时共有6×6×12=432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2×6×=144种不同的排法，∴共有432-144=288种不同排法．故选B
考点：本题考查了排列问题
点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
8．（2009·全国·高考真题（理））甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
【答案】C
【解析】由=30选C.
9．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
10．（2007·山西·高考真题（理））从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_______________种.(用数字作答）
【答案】36
【解析】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法
相关试卷
考向37 计数原理与排列组合小题最全归纳（十九大经典题型）： 这是一份考向37 计数原理与排列组合小题最全归纳（十九大经典题型），文件包含考向37计数原理与排列组合小题最全归纳十九大经典题型原卷版docx、考向37计数原理与排列组合小题最全归纳十九大经典题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
【备战2023高考】数学专题讲与练-考向43《统计与统计案例》（九大经典题型）全能练（新高考地区专用）： 这是一份【备战2023高考】数学专题讲与练-考向43《统计与统计案例》（九大经典题型）全能练（新高考地区专用），文件包含备战2023高考数学专题讲与练-考向43《统计与统计案例》九大经典题型全能练原卷版docx、备战2023高考数学专题讲与练-考向43《统计与统计案例》九大经典题型全能练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共140页， 欢迎下载使用。
【备战2023高考】数学专题讲与练-考向38《二项式定理全归纳》（十五大经典题型）全能练（新高考地区专用）： 这是一份【备战2023高考】数学专题讲与练-考向38《二项式定理全归纳》（十五大经典题型）全能练（新高考地区专用），文件包含备战2023高考数学专题讲与练-考向38《二项式定理全归纳》十五大经典题型全能练原卷版docx、备战2023高考数学专题讲与练-考向38《二项式定理全归纳》十五大经典题型全能练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
