2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了求弦CD的长．，【答案】A，【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】30等内容，欢迎下载使用。

抛物线y=(x−3)2−1的对称轴是( )
A. 直线x=3B. 直线x=−3C. 直线x=1D. 直线x=−1
若反比例函数的图象经过点(3,−2)，则该反比例函数的表达式为( )
A. y=6xB. y=−6xC. y=3xD. y=−3x
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，则tanA的值为( )
A. 35
B. 34
C. 45
D. 43
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=50∘，则∠ACD的大小为( )
A. 25∘
B. 30∘
C. 40∘
D. 50∘
把抛物线y=(x+5)2+3向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为( )
A. y=(x+5)2+4B. y=(x+5)2+2C. y=(x+6)2+3D. y=(x+4)2+3
如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE//BC.如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等于( )
A. 2：1
B. 2：5
C. 2：3
D. 3：5
如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是( )
A. AM=BM
B. CM=DM
C. AC=BC
D. AD=BD
如图，一次函数y=−2x+8与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于A(1,6)，B(3,2)两点．则使−2x+8<6x成立的x的取值范围是( )
A. x<1B. x>3
C. 13
已知△ABC，sinA=12，则∠A=______∘.
如果一个扇形的半径是1，圆心角为120∘，则扇形面积为______.
如图，在⊙O中，∠BOC=80∘，则∠BAC的度数是______.
如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25∘，则∠AOP=______∘.
已知二次函数y=−x2+6的图象上两点A(a1,b1)，B(a2,b2)，若a1”，“<”或“=”).
如图热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为60∘，看这栋高楼底部的俯角为30∘，若热气球与高楼水平距离为60m，则这栋楼的高度为______m.
下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P.
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
(1)连接OP；
(2)分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
(3)作直线MN，交OP于点C；
(4)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
(5)作直线PA，PB.
直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．
完成如下证明：
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP=90∘(______)(填推理的依据).
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线(______)(填推理的依据).
同理可证直线PB是⊙O的切线．
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t−5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是______ s时，小球最高；小球运动中的最大高度是______m.
求值：sin30∘+tan45∘−cs60∘.
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，点D在AC边上，DE⊥AC交BC于点E.
求证：△CDE∽△CBA.
如图，在△ABC中，∠B=30∘，tanC=43，AD⊥BC于点D.若AD=4，求BC的长．
在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)和点B(−2,m)，求m的值．
在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r(r为常数)，到点O的距离等于r的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.
求证：AD=CD.
在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度．如图，在C处用高1.2米的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30∘，向塔的方向前进40米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60∘，求昊天塔的高约为多少米？(结果精确到1米，3≈1.73，2≈1.41)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15∘，AB=4.求弦CD的长．
如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45∘，∠C=60∘.点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M.连接EP，FP.当PF⊥AC时，求AP的长．
在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点A(2,4)在双曲线y1=mx(m≠0)上．
(1)求m的值；
(2)已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与y1=mx，y2=x的图象分别相交于点N，M，点N，M的距离为d1，点N，M中的某一点与点P的距离为d2，如果d1=d2，在如图中画出示意图并且直接写出点P的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a上有两点A(−1,0)和点B(x,x+1).
(1)用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
(2)当32≤AB≤52时，结合函数图象，求a的取值范围．
如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，DB.
(1)求证：∠ADC=∠ABD；
(2)连接DO，过点D做⊙O的切线，交BA的延长线于点P.若AC=3，tan∠PDC=43，求BC的长．
对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y=−(x−3)2+2是有上界函数，其上确界是2.
(1)函数①y=x2+2x+1和②y=2x−3(x≤2)中是有上界函数的为______(只填序号即可)，其上确界为______；
(2)如果函数y=−x+2(a≤x≤b,b>a)的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
(3)如果函数y=x2−2ax+2(1≤x≤5)是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：抛物线y=(x−3)2−1的对称轴是直线x=3.
故选：A.
根据二次函数的顶点式y=(x−h)2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．
2.【答案】B
【解析】解：设反比例函数的表达式为y=kx(k≠0)，函数的图象经过点(3,−2)，
∴−2=k3，得k=−6，
∴反比例函数解析式为y=−6x.
故选：B.
通过待定系数法即可求反比例函数的表达式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx(k为常数，k≠0)；把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AB=5，BC=3，
∴AC=52−32=4，
∴tanA=BCAC=34.
故选：B.
先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ABD=50∘，
∴∠ACD=∠ABD=50∘.
故选：D.
根据圆周角定理求出答案即可．
本题考查的是圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：把抛物线y=(x+5)2+3向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为y=(x+5)2+3+1，即y=(x+5)2+4.
故选：A.
根据向上平移纵坐标加求得结论即可．
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数图象的平移性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∵AD：DB=2：1，
∴AEEC=21，
∴AE=2EC，
∴AE：AC=2EC2EC+EC=23，
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理得出ADDB=AEEC=21，求出AE=2EC，再代入AE：AC求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，AC=BC，AD=BD，
即选项A、C、D都正确，
根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，
故选：B.
根据垂径定理进行判断即可．
本题考查了垂径定理，弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围是03；
故选：D.
观察函数图象得到当03，一次函数的图象在反比例函数图象下方．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
9.【答案】30
【解析】解：∵sinA=12，
∴∠A=30∘，
故答案为：30.
根据特殊角的三角函数值解答即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】π3
【解析】解：这个扇形的面积=120π×12360=π3.
故答案是：π3.
直接根据扇形的面积公式求解．
本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n∘，扇形的半径为R，扇形面积为S，则S=nπR2360或S=12lR(其中l为扇形的弧长).
11.【答案】40∘
【解析】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=80∘，
∴∠BAC=12∠BOC=40∘.
故答案为：40∘.
直接根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
12.【答案】65
【解析】解：∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠APO+∠AOP=90∘，
∵∠APO=25∘，
∴∠AOP=90∘−∠APO=90∘−25∘=65∘，
故答案为：65.
根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵y=−x2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴x<0时，y随x增大而增大，
∵a1∴b1故答案为：<.
根据抛物线开口方向及对称轴可得x<0时y随x增大而增大，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，抛物线开口向下，当x<−b2a时y随x增大而增大．
14.【答案】803
【解析】解：如图，在Rt△ABD中，∠BDA=90∘，∠BAD=60∘，AD=60m，
∴BD=ADtan60∘=60×3=603(m).
在Rt△ACD中，∠ADC=90∘，∠CAD=30∘，
∴CD=ADtan30∘=60×33=203(m).
∴BC=BD+CD=603+203=803(m)
故答案为：803.
求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC=BD+DC，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD，CD就可以．
此题主要考查了仰角俯角问题，以及利用三角函数关系解直角三角形，题目难度不大，是中考常考题型．
15.【答案】直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP=90∘(直径所对的圆周角是直角)，
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，
同理可证直线PB是⊙O的切线，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90∘，再依据切线的判定证明结论；
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，线段垂直平分线的作法等知识，读懂题意，掌握基本的尺规作图是解题的关键．
16.【答案】3 45
【解析】解：h=30t−5t2=−5(t−3)2+45，
∵−5<0，0≤t≤6，
∴当t=3时，h有最大值，最大值为45.
故答案为：3，45.
先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=30t−5t2的顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
17.【答案】解：原式=12+1−12
=1.
【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入计算即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90∘，
∴∠CDE=90∘=∠B.
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA.
【解析】由DE⊥AC，∠B=90∘可得出∠CDE=∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA.
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是证明△CDE∽△CBA.
19.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵∠B=30∘，AD=4，
∴AB=2AD=8，
∴BD=AB2−AD2=82−42=43，
∵tanC=43=ADCD，
∴CD=34AD=34×4=3，
∴BC=BD+CD=43+3.
【解析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可．
本题考查了解直角三角形、含30∘角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出BD和CD的长是解题的关键．
20.【答案】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，
∴k=2×3=6.
∴y=6x，
∵点B(−2,m)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=6=−2m，
解得：m=−3.
故m的值为−3.
【解析】由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，再结合点B在反比例函数图象上，由此即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．
21.【答案】证明：根据题意作图如下：
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=CD，
∴AD=CD.
【解析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
本题主要考查圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．
22.【答案】解：如图，
设AG=x米，
在Rt△AFG中，∠AFG=60∘，tan∠AFG=AGFG=3，
∴FG=33x(米)，
在Rt△AEG中，∠AEG=30∘，tan∠AEG=AGEG=33，
∴EG=3x(米)，
∵CD=EF=EG−FG=40米，
∴3x−33x=40，
解得：x=203.
∴AG=203米，
则AB=203+1.2≈36(米).
答：这个电视塔的高度AB约为36米．
【解析】设AG=x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和EG的长度，然后根据CD=40米，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB.
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
23.【答案】解：∵∠A=15∘，
∴∠COB=30∘，
∵AB=4，
∴OC=2，
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=12CD，
在Rt△OCE中，∠CEO=90∘，∠COB=30∘，OC=2，
∴CE=1，
∴CD=2.
【解析】根据∠A=15∘，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
此题考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是本题的关键．
24.【答案】解：如图1中，过点A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，AD=AB⋅sin45∘=42×22=4.
AC=ADsin60∘=432=833，
如图2中，
∵点E为线段AB的中点，AB=42，
∴AE=22，
∵PF⊥AC，
∴∠PFA=90∘，
∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
∴△AEF≌△PEF，
∴∠AFE=∠PFE=45∘，AF=PF，
∴∠AFE=∠B，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AFAB=AEAC，即AF42=22833，
∴AF=23，
∴AP=2AF=26.
【解析】如图1中，过点A作AD⊥BC于D.根据三角函数的定义得到AD=4，如图2中，根据垂直的定义得到∠PFA=90∘，根据折叠的性质得到∠AFE=∠PFE=45∘，AF=PF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)∵点A(2,4)在双曲线y1=mx(m≠0)上，
∴m=2×4=8，
∴m的值为8；
(2)如图：
由图象可知，点P的坐标为(2,0)或(4,0)或(−2,0)或(−4,0).
【解析】(1)根据待定系数法即可求得；
(2)画出函数的图象，根据图象即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将(−1,0)代入y=ax2+bx+3a，
得0=a−b+3a，
∴b=4a，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=−4a2a=−2.
(2)∵点B坐标为(x,x+1)，
∴点B所在直线为y=x+1，
∴点A在直线y=x+1上，
过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，
则BC=|x+1|，AC=|x+1|，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当AB=32时，AC=BC=3，当AB=52时，AC=BC=5，
∴|xC−xA|=3或|xC−xA|=5，
∴点B坐标为(2,3)或(4,5)或(−4,−3)或(−6,−5)，
当a>0时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点(−1,0)，对称轴为直线x=−2，
∴抛物线经过点(−3,0)，
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过B3，B4，
将(2,3)代入y=ax2+4ax+3a得3=4a+8a+3a，
解得a=15，
将(4,5)代入y=ax2+4ax+3a得5=16a+16a+3a，
解得a=17，
∴17≤a≤15.
a<0时，抛物线开口向下，抛物线不经过B1，B2，
将(−4,−3)代入y=ax2+4ax+3a得−3=16a−16a+3a，
解得a=−1，
将(−6,−5)代入y=ax2+4ax+3a得−5=36a−24a+3a，
解得a=−13，
∴−1≤a≤−13，
综上所述，17≤a≤15或−1≤a≤−13.
【解析】(1)将(−1,0)代入函数解析式可得b=4a，则抛物线对称轴为直线x=−b2a=−4a2a=−2.
(2)由点B坐标可得AB所在直线为y=x+1，过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得当AB=32时和AB=52时点B的坐标为(2,3)或(4,5)或(−4,−3)或(−6,−5)，再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过分类讨论求解．
27.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADC+∠BDC=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ABD+∠BDC=90∘，
∴∠ADC=∠ABD；
(2)解：∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDO=90∘，
∴∠PDC+∠CDO=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠DOC+∠CDO=90∘，
∴∠PDC=∠DOC，
∵tan∠PDC=43，
∴tan∠DOC=43，即DCCO=43，
设DC=4x，则CO=3x，
由勾股定理得：OD=5x，
∵AC=3，
∴OA=3x+3，
∴3x+3=5x，
∴x=32，
∴AB=10x=15，
∴BC=AB−AC=15−3=12.
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90∘，根据同角的余角相等证明结论；
(2)根据题意画出图形，根据切线的性质得到∠PDO=90∘，进而得到∠PDC=∠DOC，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
28.【答案】(1)②，1
(2)∵y=−x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，−b+2≤y≤−a+2，
∵上确界是b，
∴−a+2=b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴−b+2≤2a+1，
∴a≥−1，
∵b>a，
∴−a+2>a，
∴a<1，
∴a的取值范围为：−1≤a<1；
(3)y=x2−2ax+2的对称轴为直线x=a，
当a≤1时，y的最大值为25−10a+2=27−10a，
∵3为上确界，
∴27−10a=3，
∴a=2.4(舍)；
当a≥5时，y的最大值为1−2a+2=3−2a，
∵3为上确界，
∴3−2a=3，
∴a=0(舍)；
当1∵3为上确界，
∴27−10a=3，
∴a=2.4；
当3∵3为上确界，
∴3−2a=3，
∴a=0(舍)，
综上所述：a的值为2.4.
【解析】解：(1)①y=x2+2x+1=(x+1)2≥0，
∴①无上确界；
②y=2x−3(x≤2)，
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
(2)见答案；
(3)见答案.
(1)分别求出两个函数的最大值即可求解；
(2)由题意可知：−b+2≤y≤−a+2，再由−a+2=b，−b+2≤2a+1，b>a，即可求a的取值范围；
(3)当a≤1时，27−10a=3，可得a=2.4(舍)；当a≥5时，3−2a=3，可得a=0(舍)；当1本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．