2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共25页。试卷主要包含了60，cs37∘≈0，【答案】C，【答案】B，【答案】6等内容，欢迎下载使用。
若2y=5x(xy≠0)，则下列比例式正确的是( )
A. xy=52B. x5=2yC. xy=25D. yx=25
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，BC=3，则sinA的值是( )
A. 74B. 34C. 35D. 45
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向上平移2个单位长度得到的抛物线为( )
A. y=(x+2)2B. y=(x−2)2C. y=x2−2D. y=x2+2
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的示意图如图所示，下列说法中正确的是( )
A. a0
在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(x0，则y10)图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N.若矩形PMON的面积为3，则m的值为______.
如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是______.
如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B.若∠OBA=30∘，PA=3，则AB的长为______.
有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m.在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm.已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m.
北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37∘，则坡AB的铅直高度AH约为______m.(参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)
如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点A(0,2)，B(0,8)，⊙M为△ABP的外接圆．
(1)点M的纵坐标为______；
(2)当∠APB最大时，点P的坐标为______.
计算：3tan60∘−4cs45∘−(π−1)0+8.
如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B=∠C.
(1)求证：△ABE∽△ACD；
(2)若D为AE中点，BE=4，求CD的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−4x+3.
(1)求它的顶点坐标；
(2)求它与x轴的交点坐标．
下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC.
求作：直线BD，使得BD//AC.
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；
④作直线BD.
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD=BC，
∴AD=______.
∴∠DBA=∠CAB(______)(填推理的依据).
∴BD//AC.
如图，在△ABC中，∠B=45∘，tanC=23，AC=213，求BC的长．
在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)若yy1>y2，
当y1y20，y2y1>0，选项A正确．
当y3>y1>y2>0时，y2y3>0，
∴选项B错误，
当y1y30，y10，
∴m=3，
故答案为：3.
根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
12.【答案】△BOD(答案不唯一)
【解析】解：∵AD、BE分别是△ABC的高，
∴∠AEO=∠BDO=90∘，
∵∠AOE=∠BOD，
∴△AOE∽△BOD，
故答案为：△BOD(答案不唯一).
根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明与△AOE相似的三角形有△BOD或△CBE或△ACD.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两组对应角相等的两个三角形相似是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，OB⊥PB，
∵∠OBA=30∘，
∴∠PBA=90∘−30∘=60∘，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=3，
故答案为：3.
根据切线的性质得到PA=PB，OB⊥PB，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14.【答案】30
【解析】解：设这块草坪的周长为x m，根据题意可得：
105=x15，
解得：x=30，
故答案为：30.
直接利用相似三角形的性质得出周长比等于相似比，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
15.【答案】18
【解析】解：在Rt△ABH中，∠ABH=37∘，AB=30m，
∵sin∠ABH=AHAB，
∴AH=AB⋅sin∠ABH≈30×0.60=18(m)，
故答案为：18.
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】(1)5；(2)(4,0)
【解析】解：(1)∵点A(0,2)，B(0,8)，
∴线段AB的中点坐标为(0,5)，
∵⊙M为△ABP的外接圆，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，
∴点M的纵坐标为5，
故答案为：5；
(2)由圆周角定理可知，当⊙M与x轴相切于点P时，∠APB最大，
连接MA、MP，过点M作MN⊥y轴于点N，
∵⊙M与x轴相切于点P，
∴MP⊥x轴，
∵∠BOP=90∘=∠MNO=∠MPO，
∴四边形NOPM为矩形，
∴OP=MN，MP=ON，
∵AB=6，MN⊥AB，
∴AN=12AB=3，
∴AM=MP=ON=5，
在Rt△AMN中，MN=AM2−AN2=52−32=4，
∴OP=MN=4，
∴点P的坐标为(4,0)，
故答案为：(4,0).
(1)根据点A、点B的坐标求出AB的中点，根据外心的概念得到点M的纵坐标；
(2)连接MA、MP，过点M作MN⊥y轴于点N，根据垂径定理求出AN，进而求出MP，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当⊙M与x轴相切于点P时，∠APB最大是解题的关键．
17.【答案】解：3tan60∘−4cs45∘−(π−1)0+8
=3×3−4×22−1+22
=3−22−1+22
=2.
【解析】先代入特殊角三角函数值，计算零指数幂，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可.
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，熟记特殊角三角函数值，零指数幂法则，二次根式的化简是解题关键.
18.【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠B=∠C.
∴△ABE∽△ACD；
(2)解：∵D为AE中点，BE=4，
∴AE=2AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴BECD=AEAD，
∴4CD=2ADAD，
∴CD=2.
【解析】(1)根据角平分线定义可得∠BAE=∠CAD，∠B=∠C，根据相似三角形的判定定理即可得出答案；
(2)根据D为AE中点，得出AE=2AD，由(1)得△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得出：BECD=AEAD，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得出△ABE∽△ACD是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵y=x2−4x+3=x2−4x+4−1=(x−2)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(2,−1)；
(2)把y=0代入y=x2−4x+3得，x2−4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0).
【解析】(1)把二次函数的解析式化成顶点式即可；
(2)把y=0代入函数解析式求出x即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，即为补全的图形；
(2)BC 在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.
【解析】(1)见答案；
(2)证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD=BC，
∴AD=BC.
∴∠DBA=∠CAB(在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等).
∴BD//AC.
故答案为：BC.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．
本题考查线段垂直平分线、三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC=ADCD=23，
∴AD=23CD.
在Rt△ACD中，∵AD2+CD2=AC2，AC=213，
∴(23CD)2+CD2=(213)2,
∴CD2=36，
∵CD>0，
∴CD=6，
∴AD=23CD=23×6=4.
在Rt△ABD中，∵∠B=45∘，∠ADB=90∘，
∴∠BAD=90∘−45∘=45∘，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4.
∴BC=AD+CD=4+6=10.
【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D.得到Rt△ACD和Rt△ABD，先在Rt△ACD中根据正切定义和勾股定理求出AD、CD，再在Rt△ABD中求出BD，最后利用线段的和差关系求出BC.
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)观察表可知，当x=0，x=2时，y值相等均为0，
∴二次函数的顶点坐标为(1,1)，
设二次函数的表达式为：y=a(x−1)2+1，
把点(0,0)代入y=a(x−1)2+1，得a=−1，
∴这个二次函数的表达式为y=−(x−1)2+1，即y=−x2+2x；
(2)由(1)知，抛物线顶点为(1,1)，对称轴为直线x=1，过原点，
根据抛物线的对称性，抛物线过(2,0)
抛物线的图象如图所示：
(3)x>3或x