2021-2022学年河北省唐山市迁安市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年河北省唐山市迁安市九年级（上）期末数学试卷

1. tan30∘的值等于(    )
A. 12 B. 32 C. 33 D. 3
2. 如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被直线l1、l2、l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DF的长为(    )
A. 2
B. 103
C. 223
D. 6.5
3. 下列事件中为必然事件的是(    )
A. 明天要下雨 B. |a|≥0
C. 打开电视机，它正在播放广告 D. −2>−1
4. 二次函数y=(x−1)2+2描述正确的是(    )
A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线x=1
C. 函数有最大值是2 D. 顶点坐标(−1,2)
5. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是(    )
A. a B. b C. a+b D. a−b
6. x=−3±32+4×2×12×2是下列哪个一元二次方程的根(    )
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2−3x+1=0
C. 2x2+3x−1=0 D. 2x2−3x−1=0
7. 侦察机在P观测目标R俯角为30∘，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45∘，符合条件的示意图是(    )
A. B.
C. D.
8. 在△ABC中，∠C=90∘.若AB=3，BC=1，则cosA的值为(    )
A. 13 B. 22 C. 223 D. 3
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是它们的位似中心，且OF=3OC，则△ABC与△DEF的面积之比是(    )

A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
10. 甲、乙两班学生参加“100米”体能测试，成绩统计如下，则成绩分析正确的是(    )
班级
参加人数
中位数
平均数
方差
甲班
40
10.8
11.5
0.9
乙班
40
11
11.5
0.7

A. 甲、乙两班的平均成绩相同
B. 如果10.8秒跑完全程为优秀，则乙班优秀人数比甲班多
C. 甲班成绩比乙班成绩波动小
D. 乙班成绩好
11. 一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是50%，需向袋中加入除颜色外其余均相同的小球，则不正确的添加方案是(    )
A. 绿球2个 B. 红球2个，黄球4个 C. 红球3个 D. 红球5个，黄球7个
12. 如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是(    )


A. OBCD=32 B. αβ=32 C. S1S2=32 D. C1C2=32
13. 正六边形的边长为2，⊙O是它的内切圆，则⊙O的面积为(    )
A. 23π B. 3π C. 233 D. 3π
14. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E.若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD=34，则k的值为(    )

A. 3 B. 23 C. 6 D. 12
15. △ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与⊙O的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；
下列判断正确的是(    )

A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对
16. 有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=120∘，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画出△ABC以及它的外接⊙O，连接OB，OC，如图，∠BOC=2∠A=120∘，∠A=60∘.下列判断正确的是(    )


A. 嘉嘉做的不对，∠A的另一个值是120∘ B. 嘉嘉做的对，∠A只有唯一的值60∘
C. 嘉嘉求的结果不对，∠A=65∘ D. 嘉嘉做的不对，∠A有3个值
17. 如果3m−2n=0，那么m+nn=______.
18. 如图，点P是反比例函数y=−4x图象上的一个点，过P作PA⊥x轴，PC⊥y轴，则矩形OAPC的面积是______.


19. 如图，已知一长为23dm，宽为2dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，点A翻滚第一次到达点A1，则点A经过的路线长为______；若长方形连续滚动，翻滚到第2021次时A点走过的总路线长为______.

20. 已知关于x的一元二次方程2x2+3x−◆=0常数项部分看不清楚．
(1)若小红做题时把◆猜成了2，请帮小红求出方程的根；
(2)若此方程有实数根，求◆的取值范围．
21. 某校在“推普周”组织了“说普通话，写规范字”测试，项目A“朗读”、B“硬笔书法”、C“即兴演讲”、D“毛笔字”、E“手抄报”．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项从C、D、E随机抽取一项，每项满分10分(成绩均为整数且不低于0分).
(1)下表分别是项目“C”和“D”6名学生的成绩；
学生
项目
1
2
3
4
5
6
平均分
众数
中位数
C
x
6
7
8
8
9
a
b
c
D
6
8
8
8
9
9
8
d
8
①d=______；
②如果a=c，且x不是这组中成绩最高的，求x的值；
(2)完成必测项目A、B后，请用列表或树形图的方法分析甲和乙第三项选不同项目的概率．
22. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比=1：3，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB//ED，A到地面的高度为h.支架与踏板的夹角(∠ACD)可以根据用户的舒适度需求在0∘∼90∘调节．
(1)求C到地面DE距离；
(2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服．
①求此时点C到手柄AB的距离；
②求此时支架与踏板之间夹角的度数．(参考数据：cos50∘≈0.64，cos37∘≈0.8，sin50∘=cos40∘≈0.76)

23. 如图1，在△ACB中，AC=BC，∠ACB=90∘，D、E分别是CA、BA延长线上一点，DE//CB.已知AB=42，AD=2.
(1)求出DEBC的值
(2)若将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，使点E落在△ACB的内部，且∠ABE+∠ACE=90∘，BE=6，CE=1，如图2所示．
①求证：△ABE∽△ACD；
②直接写出tan∠DEC的值=______.

24. 如图1，在△ADC中，AD⊥DC于点D，AD=DC=8，点E是AD上一动点(不与点A、D重合)，在△ADC内部做矩形EFGH，点F在DC上，点G、H在AC上，设DE=x.
(1)当矩形EFGH是正方形时，EF=______；(用含x的代数式表示)
(2)矩形EFGH面积为S1，求S1与x的函数关系式，并求出S1的最大值；
(3)延长CD至点B，如图2，若BD=6，连接BE，设△ABE的面积为S2，令y=S2S1，求y关于x的函数关系式．

25. 已知，如图，在Rt△ADE中，∠ADE=90∘，点O为AE上一点，以O为圆心，OA为半径作半圆与DE相切于点C，与AE相交于点B.
(1)求证：AC平分∠DAE；
(2)若CD=23，AD=6；
①求半圆的直径AB；
②求图中阴影部分的面积．

26. 某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.

(1)按图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本).
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：tan30∘=33.
故选：C.
根据特殊角的三角函数值解答．
本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30∘=12，cos30∘=32，tan30∘=33，cot30∘=3；
sin45∘=22，cos45∘=22，tan45∘=1，cot45∘=1；
sin60∘=32，cos60∘=12，tan60∘=3，cot60∘=33.

2.【答案】C 
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∴56=DE4，
∴DE=103，
∴DF=DE+EF=103+4=223，
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：A.明天要下雨，这是随机事件，故A不符合题意；
B.|a|≥0，这是必然事件，故B符合题意；
C.打开电视机，它正在播放广告，这是随机事件，故C不符合题意；
D.−2>−1，这是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B.
根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，绝对值的非负性，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的特点是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵二次函数的解析式为y=(x−1)2+2，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)，
∴该函数有最小值为2，
只有B选项符合题意，
故选：B.
根据二次函数的顶点式可得出函数的开口方向，对称轴和顶点，从而确定答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据二次函数的顶点式得出顶点，开口方向和对称轴等图象的基本性质．

5.【答案】C 
【解析】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值为：a+b.
故选：C.
根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．

6.【答案】C 
【解析】解：A.此方程的解为x=−3±32−4×(−3)×12×2，不符合题意；
B.此方程的解为x=3±(−3)2−4×2×12×2，不符合题意；
C.此方程的解为x=−3±32+4×2×12×2，符合题意；
D.此方程的解为x=3±(−3)2−4×3×(−1)2×2，不符合题意；
故选：C.
根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵侦察机在P观测目标R俯角为30∘，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45∘，
∴符合条件的示意图是A选项，
故选：A.
根据俯角的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=3，BC=1，
由勾股定理可知AC=AB2−BC2=32−12=22，则cosA=ACAB=223.
故选：C.
依据勾股定理求出AC的长，根据三角函数的定义就可以解决．
本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

9.【答案】D 
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，原点O是它们的位似中心，
∴AC//DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴ACDF=OCOF=13，
∴△ABC与△DEF的面积比等于1：9，
故选：D.
根据位似图形的概念得到AC//DF，证明△OAC∽△ODF，根据相似三角形的性质求出ACDF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：根据表格可知，
甲、乙两班学生参加“100米”体能测试，平均成绩都是11.5秒，所以两班的平均成绩相同，选项A分析正确，符合题意；
如果10.8秒跑完全程为优秀，因为两个班人数相同，而甲班的中位数是10.8秒，乙班的中位数是11.8秒，所以甲班优秀人数比乙班多，选项B分析不正确，不符合题意；
因为甲班成绩的方差大于乙班，所以甲班成绩比乙班成绩波动大，选项C分析不正确，不符合题意；
甲、乙两班的平均成绩相同，如果从中位数看，甲班优秀人数比乙班多，甲班成绩较好；如果从方差看，甲班成绩比乙班成绩波动大，乙班成绩较好．选项D分析不正确，不符合题意；
故选：A.
根据平均数、中位数、方差的意义解答即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数与中位数．

11.【答案】C 
【解析】解：A、加入绿球2个，则摸到红球的概率为55+3+2=50%，正确，不符合题意；
B、加入红球2个，黄球4个，则摸到红球的概率为5+25+3+2+4=50%，正确，不符合题意；
C、加入红球3个，则摸到红球的概率为5+35+3+3=811≠50%，错误，符合题意；
D、加入红球5个，黄球7个，这摸到红球的概率为5+55+3+5+7=50%，正确，不符合题意．
故选：C.
利用概率公式分别判断即可．
此题考查对概率意义的理解及概率的求法，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

12.【答案】D 
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，
∴OBOD=32，A选项错误；
∴S1S2=94，C选项错误；
∴C1C2=32，D选项正确；
不能得出αβ=32，B选项错误；
故选：D.  
13.【答案】D 
【解析】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA⋅sin60∘=2×32=3，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3，
∴内切圆面积为π×(3)2=3π.
故选：D.
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求得内切圆半径，再根据圆的面积公式求解即可．
本题考查了正多边形和圆，本题涉及到正多边形、等边三角形及特殊角的三角函数值，难度适中．

14.【答案】A 
【解析】解：∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴设AD=3a，OA=4a，
则BC=AD=3a，点D坐标为(4a,3a)，
∵CE=2BE，
∴BE=13BC=a，
∵AB=4，
∴点E坐标为(4+4a,a)，
∵反比例函数y=kxk≠0经过点D、E，
∴k=12a2=(4+4a)a，
解得：a=12或a=0(舍)，
则k=12×14=3，
故选：A.
由tan∠AOD=ADOA=34可设AD=3a，OA=4a，再表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k.

15.【答案】C 
【解析】解：A、∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90∘，
∴∠B+∠CAB=90∘，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90∘，
∴EF⊥AB，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；
B、作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等)，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90∘，
∴∠CAM+∠M=90∘，
∴∠EAC+∠CAM=90∘，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
故选：C.
A、根据直径推出∠CAB+∠B=90∘，推出∠EAC+∠CAB=90∘，根据切线判定推出即可；
B、作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90∘，根据切线的判定推出即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．

16.【答案】A 
【解析】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．

故∠A′=180∘−60∘=120∘.
故选：A.
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．

17.【答案】53 
【解析】解：∵3m−2n=0，
∴3m=2n，
∴mn=23，
∴设m=2k，n=3k，
∴m+nn=2k+3k3k=5k3k=53，
故答案为：53.
根据比例的性质求出m：n的值，然后利用设k法进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．

18.【答案】4 
【解析】解：∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，
∴矩形OAPB的面积=|−4|=4，
故答案为：4.
直接根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义求解．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

19.【答案】2π；1517π+5053π 
【解析】解：如图，

在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=(23)2+22=4，
∴AA1的长=90π×4180=2π，A1A2=90π×2180=π，A3A4=90π×23180=3π，
观察图象可知，4次应该循环，
∵2021÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，
∴翻滚到第2021次时A点走过的总路线长为505×(3π+3π)+2π=1517π+5053π.
故答案为：2π，1517π+5053π.
利用弧长公式求出AA1，A1A2，A3A4的长，探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查轨迹-弧长公式，矩形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．

20.【答案】解：(1)由题意得：2x2+3x−2=0，
(2x−1)(x+2)=0，
2x−1=0，x+2=0，
x1=12，x2=−2.
故原方程的根为x1=12，x2=−2；
(2)设◆表示的数为m，
∵关于x的一元二次方程2x2+3x−m=0方程有实数根，
∴Δ≥0，
∴9−4×2×(−m)≥0，
∴m≥−98，
∴◆的取值范围是不小于−98. 
【解析】(1)利用因式分解法解方程2x2+3x−2=0即可；
(2)设◆表示的数为m，根据“方程有实数根”，得到判别式Δ≥0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．

21.【答案】8 
【解析】解：(1)由众数的定义得：d=8，
故答案为：8；
(2)①当0 解得：x=7；
当8≤x<10时，16×(x+6+7+8+8+9)=8+82，
解得：x=10(不合题意，舍去)，
∴x的值为：7；
(3)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，甲和乙第三项选不同项目的结果有6种，
∴甲和乙第三项选不同项目的概率为69=23.
(1)①由众数的定义求解即可；
②分0 (2)画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙第三项选不同项目的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及众数、中位数、平均数．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：(1)过C作CG⊥DE于G，
∵踏板CD与地面DE的坡比=1：3，CD=1.6m，
∴tan∠CDG=13=33，
∴∠CDG=30∘，
∴CG=12CD=0.8(m)，
即C到地面DE距离为0.8m；
(2)①延长GC交AB于F，
则CF⊥AB，
∵该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服，
∴h=FG=1.8×0.8=1.44(m)，
由(1)得：CG=0.8m，
∴CF=FG−CG=1.44−0.8=0.64(m)，
即此时点C到手柄AB的距离为0.64m；
②在Rt△ACF中，AC=0.8m，cos∠ACF=CFAC=0.640.8=0.8，
∴∠ACF≈37∘，
由(1)得：∠DCG=90∘−∠CDG=60∘，
∴∠ACD=180∘−∠ACF−∠DCG≈180∘−37∘−60∘=83∘. 
【解析】(1)过C作CG⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDG=30∘，再由含30∘角的直角三角形的性质即可得出答案；
(2)①延长GC交AB于F，则CF⊥AB，求出h=FG=1.44(m)，由(1)得CG=0.8m，然后求出CF的长即可；
②由锐角三角函数定义求出∠ACF≈37∘，再由(1)得∠DCG=90∘−∠CDG=60∘，然后求出∠ACD的度数即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23.【答案】3 
【解析】解：(1)∵AC=CB，∠ACB=90∘，
∴∠B=∠CAB=45∘，
∵AB=42，
∴AC=BC=4，
∵DE//BC，
∴∠E=∠B=45∘，∠D=∠ACB=90∘，
∴∠E=∠DAE=45∘，
∴AD=DE=2，
∴DEBC=24=12；

(2)①证明：∵△ACB，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=2AC，AE=2AD，∠BAC=∠EAD=45∘，
∴∠BAE=∠CAD，ABAC=AEAD，
∴△ABE∽△ACD；

②如图2中，

∵△ABE∽△ACD，
∴BECD=ABAC=2，∠ABE=∠ACD，
∵BE=6，
∴CE=3，
∵∠ABE+∠ACE=90∘，∠ACE+∠BCE=90∘，
∴∠ABE=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠ACB=90∘，
∴tan∠DEC=CDEC=3，
故答案为：3.
(1)利用等腰直角三角形的性质和判定，求出BC，DE，可得结论；
(2)①根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；
②证明∠ECD=90∘，再利用相似三角形的性质求出CD=3，可得结论．
本题属于相似三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】823 
【解析】解：(1)过D作DM⊥AC于M，交EF于N，如图1所示：
则DN⊥EF，EH=MN，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90∘，
∵AD=DC=8，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=2AD=82，
∵DM⊥AC，
∴DM=12AC=42，
当矩形EFGH是正方形时，EF=EH=MN，EF//GH，
∴△DEF∽△DAC，
∴EFAC=DNDM，
即EF82=42−EF42，
解得：EF=823，
故答案为：823；
(2)由(1)得：△ADC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45∘，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF//GH，
∴∠DEF=∠A=45∘，∠DFE=∠C=45∘，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE=2x，
由(1)得：△DEF∽△DAC，
∴EFAC=DNDM，
即2x82=42−EH42，
解得：EH=42−22x，
∴矩形EFGH面积为S1=EF⋅EH=2x(42−22x)=8x−x2=−(x−4)2+16，
当x=4时，S1的值最大，S1的最大值为16，
即S1与x的函数关系式为S1=−x2+8x，S1的最大值为16；
(3)∵∠ADB=180∘−∠ADC=90∘，AD=8，BD=6，
∴△ABE的面积S2=S△ABD−S△BDE=12×8×6−12×6⋅x=24−3x=−3x+24，
由(2)得：S1=−x2+8x，
∴y=S2S1=−3x+24−x2+8x=3x，
即y关于x的函数关系式为y=3x.
(1)过D作DM⊥AC于M，交EF于N，由等腰直角三角形的性质得AC=2AD=82，DM=12AC=42，再由正方形的性质得EF=EH=MN，EF//GH，则△DEF∽△DAC，得EFAC=DNDM，即可得出答案；
(2)由(1)得△DEF∽△DAC，得EFAC=DNDM，求出EH=42−22x，再由矩形的面积公式得S1=8x−x2=，然后由二次函数的性质求出最大值即可；
(3)由三角形面积公式得S2=S△ABD−S△BDE=12×8×6−12×6⋅x=24−3x=−3x+24，再由(2)得S1=−x2+8x，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的性质、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．

25.【答案】解：(1)证明：连接OC，

∵DE是半圆的切线
∴OC⊥DE，
∴AD//OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAE；
(2)①连接BC，

∵CD=23，AD=6，
∴tan∠DAC=DCAD=236=33，
∴∠DAC=30∘，
∴AC=43，∠CAO=30∘，
∴AB=ACcos30∘=8；
②∵∠DAC=30∘，AB=8，
∴∠DAB=60∘，OC=4，
∵AD//OC，
∴∠BOC=60∘，
∴S扇形COB=60π⋅42360=83π，
作CM⊥AE，垂足为M，

 在Rt△ACB中，AC=43，∠CAO=30∘，
∴CM=23，
∴S△AOC=12×4×23=43，
∴S阴影=S扇形COB+S△AOC=83π+43. 
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得出OC⊥DE，由等腰三角形的性质得出∠CAO=∠ACO，得出∠DAC=∠CAO，则可得出结论；
(2)①连接BC，求出∠DAC=30∘，由直角三角形的性质可得出答案；
②求出∠BOC=60∘，作CM⊥AE，垂足为M，求出扇形BOC的面积和三角形ACO的面积，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.
∴OH=AB=3，
∴EO=EH−OH=4−3=1，
∴E(0,1)，D(2,0)，
∴该抛物线的函数表达式为：y=kx2+1k≠0，
把点D(2,0)代入，得k=−14，
∴该抛物线的函数表达式为：y=−14x2+1；
(2)∵GM=2，
∴OM=OG=1，
∴当x=1时，y=34，
∴N(1,34)，
∴MN=34，
∴S矩形MNFG=MN⋅GM=34×2=32，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+32×50=500(元).
答：每个B型活动板房的成本是500元；
(3)根据题意，得
w=(n−500)[100+20(650−n)10]
=−2(n−600)2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+20(650−n)2≤160，
解得n≥620，
∵−2<0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n=620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19200元． 
【解析】(1)根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y=kx2+mk≠0，即可求解；
(2)根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
(3)根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．