2021-2022学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了01)，善于思考的小明进行了以下探索，【答案】B，【答案】C，【答案】D，【答案】A，【答案】3等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春市南关区九年级（上）期末数学试卷     用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，    下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D.     下列各组中的四条线段成比例的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，    不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是(    )A.  B.  C.  D.     已知中，，，，则(    )A.
B.
C.
D.     如图，在外取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到，则下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为2：1；④与的面积比为2：1，以上说法正确的个数是(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4    《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D.     如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是和，则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为(    )A. 18
B. 20
C. 28
D. 36    如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为______.如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为______.综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：黄豆种子数单位：粒800100012001400160018002000发芽种子数单位：粒76294811421331151817101902种子发芽的频率结果保留至小数点后三位那么这种黄豆种子发芽的概率约为______ 精确到如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为__________.
 如图，路灯距离地面8米，身高米的小明站在距离灯的底部点米的A处，则小明的影子AM长为______米．
 如图，在等边三角形ABC中，，点D是边AB上一点，且，点P是边BC上一动点、P两点均不与端点重合，作，PE交边AC于点若，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为______.
 用配方法解方程：在一个边长为的正方形内部挖去一个边长为的正方形如图所示，求剩余部分的面积．
今年夏天，某市出现大暴雨，部分街区积水严重，小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作，特招募社区抗涝志愿工作者．小明和小亮决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到淤泥清理，垃圾搬运，街道冲洗，消毒灭杀其中一组．
志愿者小明被分配到D组服务是______.
A.不可能事件
B.随机事件
C.必然事件
D.确定事件
请用列表或画树状图的方法，求出志愿者小明和小亮被分配到同一组服务的概率．已知关于x的方程有两个实数根．
求k的取值范围；
若k为正整数，求此时方程的解．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了桑梯，已知如图2所示，，米，米，，求点D到BC所在直线的距离.
参考数据：，，
 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、
以点O为位似中心，在点O的异侧将放大为原来的2倍，得到，请画出
按照的变换后，______.
设点为内部一点，按照的变换后，点P在内部的对应点的坐标为______.
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米如图所示，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
当时，求x的值．
的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，点F在对角线AC上，，
求证：∽
若，，，求AF的长．
【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：若设其中a、b、m、n均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
若，当a、b、m、n均为整数时，则______，______均用含m、n的式子表示
若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
化简______.如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与点B和点A重合时，过点P作于点设点P的运动时间为t秒．
用含t的代数式表示线段PQ的长．
当线段PQ将分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求t的值．
设线段PQ扫过图形的面积为，求S与t之间的函数关系式．
如图②，以PQ为斜边向上作等腰直角三角形连结CM，当线段CM的垂直平分线平行于的一边时，直接写出t的值．

答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】
本题主要考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号，首先找出a、b、c的值，进一步比较得出答案即可．
【解答】
解：，
，，
故选  2.【答案】D 【解析】解：与不能合并，所以A选项不符合题意；
B.原式，所以B选项不符合题意；
C.原式，所以C选项不符合题意；
D.原式，所以D选项符合题意；
故选：
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 3.【答案】C 【解析】解：，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项正确；
D.，故本选项错误；
故选
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
 4.【答案】D 【解析】解：共有球个，黑球有4个，
从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是，
故选：
从袋子中随机摸出一个球，摸到不是同一个球即认为是不同的情况，则有10种情况，而摸到黑球的情况有4种，根据概率公式即可求解．
考查了概率公式的知识，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率理解：摸到不是同一个球即认为是不同的情况，是解决本题的关键．
 5.【答案】B 【解析】解：由中，，，得
，
由，得
，
故选：
根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 6.【答案】C 【解析】解：根据位似的定义可得：与是位似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．
故选：
根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可作出判断．
本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性质．
 7.【答案】D 【解析】解：设矩形田地的长为x步，则矩形田地的宽为步，
依题意得：
故选：
设矩形田地的长为x步，则矩形田地的宽为步，根据矩形田地的面积等于864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 8.【答案】A 【解析】解：点A、B的坐标分别是为，，若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是和，
可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，
，，
与坐标分别是和，
线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积的面积，
故选：
直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积的面积求解即可．
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 9.【答案】3 【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，

故答案为：
根据同类项的定义得出，然后求解即可得出答案．
本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 10.【答案】 【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：
利用一元二次方程定义可得，且，再解出m的值即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
 11.【答案】 【解析】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再附近，
所以这种黄豆种子发芽的概率约为，
故答案为：
根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于，所以估计种子发芽的概率为
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 12.【答案】 【解析】解：如图，过点C作于点D，

则，由勾股定理得：
，

故答案为：
过点C作于点D，则在中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
本题属于对解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．
 13.【答案】5 【解析】【分析】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．易得：∽，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】
解：根据题意，易得∽，

根据相似三角形的性质可知，即，
解得则小明的影长为5米．  14.【答案】4 【解析】解：等边三角形，
，，
，，
，
∽，
又，，，
，
，
，
若令，则有：，
由题意只有一个解，
，
解得，
故答案为：
先利用三角形相似的判定定理证明三角形相似，再根据相似的性质建立等量关系，最后把满足条件的点只有一个，转化成方程的根只有一个，利用根的判别式求解．
本题考查了三角形相似的判定及性质的应用和一元二次方程只有一个解时，解题的关键是：熟练掌握三角形相似的判定及性质．
 15.【答案】解：移项得，
配方得，即，
开方得，
所以， 【解析】利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 16.【答案】解：剩余部分的面积为：


 【解析】此题考查了二次根式的应用，因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
 17.【答案】B 【解析】解：志愿者小明被分配到D组服务是随机事件；
故选B；

根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮被分到同一组的结果有4种，
则小明和小亮被分到同一组的概率是
根据可能性的大小即可得出答案；
根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明和小亮被分到同一组的结果数为4，再根据概率公式求解可得．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 18.【答案】解：有两个实数根，
，
，
解得；
由知，
为正整数，
，
原方程为：，
，
 【解析】由方程有两个实数根可得，解不等式即可求出k的取值范围；
由k为正整数和可得，从而可得原方程为，解方程即可求出方程的解．
此题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解本题的关键．
 19.【答案】解：过A作于E，
，
，
，
，
，
米，
在中，，
米，
米，
米，
过D作于F，
在中，米，
答：点D到BC所在直线的距离为米． 【解析】过A作于E，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到米，在中，根据三角函数的定义得到米，过D作于F，在中，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：如图所示，即为所求；

，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：；
为内部一点，在点O的异侧将放大为原来的2倍，
，
故答案为：
根据位似图形的性质画出点A、B的对应点即可；
证明是等腰直角三角形，得，从而得出答案；
根据位似图形的性质即可得出答案．
本题是作图-位似变换，勾股定理的逆定理，位似图形的性质等知识，根据位似图形的性质画出是解题的关键．
 21.【答案】解：这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，
苗圃园平行于墙的一边长为米，
，
由题意可知：，

与x之间的函数关系式为，
当时，
，
解得，不合题意，舍去，
的值为：12米；
根据题意得：，
整理得，，
，
此方程无解，
的值不能为 【解析】由篱笆长30米即可得出y关于x的函数关系式，再根据题意可求出自变量的取值范围，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由x的取值范围即可确定x的值；
根据x的一元二次方程的判别式，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积以及一次函数的应用，解题的关键是：根据篱笆长度找出y关于x的函数关系式；利用矩形的面积公式，找出关于x的一元二次方程．
 22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
∽；
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
 【解析】由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明∽；
由∽得出，将有关数据代入计算，即可求AF的长．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：，
，且a、b、m、n均为整数，
，，
故答案为：，2mn；
，
，
，
又、m、n均为正整数，
或，
即，，或，，；
原式

，
故答案为：
根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
 24.【答案】解：如图1中，当时，

在中，，
，
，

如图2中，当时，

，
，
，
综上所述，；

如图1中，当时，四边形AQPC是轴对称图形，
此时，
解得
如图2中，当时，四边形BCPQ是轴对称图形，
此时，，
解得，
综上所述，当t的值为或时，线段PQ将分成的两部分图形中存在轴对称图形；

如图1中，当时，，
如图2中，当时，，
综上所述，；

如图3中，当CM的垂直平分线平行AB时，过点M作于点O，交CB于点N，此时

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
如图4中，当点M落在AC上时，也满足条件，过点Q作于点

，
，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，
，
解得，
当点P在AC上时，不存在满足条件的t的值，
综上所述，满足条件的t的值为或 【解析】分两种情形：如图1中，当时，如图2中，当时分别解直角三角形求出PQ即可；
分两种情形：如图1中，当时，四边形AQPC是轴对称图形，如图2中，当时，四边形BCPQ是轴对称图形，分别构建方程求解即可；
分两种情形：如图1中，当时，，如图2中，当时，，分别求解即可；
情形①如图3中，当CM的垂直平分线平行AB时，过点M作于点O，交CB于点N，此时构建方程求出t的值即可．情形②如图4中，当点M落在AC上时，也满足条件，过点Q作于点构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．