2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷     当函数是二次函数时，a的取值为(    )A.  B.  C.  D.     掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为(    )A.  B.  C.  D.     随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D.     已知二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有(    )A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值3 D. 最大值3    如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为(    )
A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km    如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为(    )A.
B.
C.
D.     如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线若，则x的取值范围是(    )A.
B.
C.
D. 或
     如图，在中，，，，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为(    )
A.  B. 3 C.  D. 5    已知二次函数，则其图象的开口向______填“上”或“下”关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______.下列事件：①长春市某天的最低气温为；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于，其中是随机事件的是______只填写序号如图，在中，，垂足为若，，，则的值为______.
 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点若∽，则的大小为______度．
在平面直角坐标系中，二次函数的图象关于直线对称．若当时，y有最大值6，最小值2，则m的取值范围是__________.解方程：在课堂上，老师将除颜色外其余均相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同学参与摸球试验，每人每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，如表是试验得到的一组数据．摸球的次数n1001502005001000摸到黑球的次数m335167166333摸到黑球的频率估算口袋中白球的个数为______个．
在的条件下，小明从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个小球．请用画树状图或列表的方法，求小明两次摸出的小球颜色不同的概率．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
在图①中作的中位线EF，使点E、F分别在边AB、AC上．
在图②中作线段GH，使，，点G、H分别在边AB、AC上．
 某数学兴趣小组本着用数学知识解决问题的想法，来到“党史”教育基地，准备测量四平烈士塔的高度如图①，小组数学报告得出如下信息：如图②，测角仪CD竖直放在距烈士塔AB底部18m的位置，在D处测得塔尖A的仰角为，测角仪的高度是请你结合，上述信息计算四平烈士塔的高度精确到【参考数据：，，】
 观察下面的表格：x01____________1127______求a、b、c的值，并在表内的空格中填上正确的数．
设，当时，x的取值范围为______.北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．

求小山坡最高点到水平线的距离．
求抛物线所对应的函数表达式．
当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米？在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，如图②，若固定不动，把绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、点M不与点B重合，点N不与点C重合

【探究】求证：∽
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为
的值为______.
若，则MN的长为______.如图，在▱ABCD中，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动点P不与点A、B、C重合在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为秒
的值为______.
求线段PQ的长．用含t的代数式表示
当时，求的面积．
连结当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．
在平面直角坐标系中，、为抛物线上两点．
求抛物线与x轴的交点坐标．
记抛物线与x轴交点分别为A、点A在点B左侧，设点P在此抛物线的对称轴上，若四边形PABM为平行四边形，求的值．
点M、N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当为等腰直角三角形时，求t的值．
记抛物线在M、N两点之间的部分为图象包含M、N两点，设图象G最低点的纵坐标为当时，直接写出t的取值范围．
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：
根据二次函数定义可得，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．
 2.【答案】D 【解析】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“6”的概率是
故选：
先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“6”的概率．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 3.【答案】A 【解析】解：设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，根据题意得：
，
故选：
等量关系为：两年前的生产成本年平均下降率现在的生产成本，把相关数值代入即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
 4.【答案】B 【解析】解：抛物线开口向下，顶点坐标为，
二次函数最大值为
故选：
抛物线开口向下，则顶点纵坐标为函数最大值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 5.【答案】C 【解析】解：公路AC，BC互相垂直，
，
为AB的中点，
，
，
，
即M，C两点间的距离为5km，
故选：
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
 6.【答案】B 【解析】解：在中，米，，
，
，
故选：
根据正切的定义计算，判断即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 7.【答案】D 【解析】解：抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一交点为，
由图象可知，时，x的取值范围是或
故选：
由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，根据图象可得出答案．
本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．
 8.【答案】C 【解析】解：设PQ与AC交于点O，作于

在中，，
，，
∽，
，
，
，
当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值
故选：
设PQ与AC交于点O，作于首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值
本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】上 【解析】解：，
，
抛物线开口向上，
故答案为：上．
据二次项系数得出抛物线的开口方向．
此题考查二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意得，即，
解得
故答案为：
根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 11.【答案】② 【解析】解：①长春市某天的最低气温为，是不可能事件，故此选项不合题意；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；
③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于，是必然事件，故此选项不合题意；
故答案为：②．
直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
由勾股定理可得，
，
故答案为：
根据三角函数求出AD的值，进而求出BD，利用勾股定理求出BC即可求出的值．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数及勾股定理的知识是解题的关键．
 13.【答案】30 【解析】解：由作法得AD平分，
，
∽，
，
，
，
，
即，

故答案为：
先利用基本作图得到AD平分，所以，再根据相似三角形的性质得到，则，然后根据三角形内角和求的度数．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键．
由二次函数的对称轴求出a的值，把一般式化为顶点式，即可求出当时，y有最小值2，把代入即可求出x的值，即可求得m的取值范围．
【解答】
解：二次函数的图象关于直线对称，
，
，
，
当时，y有最小值2，
当时，y有最大值6，最小值2，
令，
解得：或，
的取值范围是，
故答案为：  15.【答案】解：由题意得：，，，
，
，
， 【解析】根据公式法，可得方程的解．
本题考查了解一元二次方程，熟记公式是解题关键，要用根的判别式判断根的情况．
 16.【答案】2 【解析】解：又表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在，
故个，
答：口袋中白球的个数约为2个，
故答案为：2；

画树状图得：

共有19种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
小明两次摸出的小球颜色不同
直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】解：二次函数的图象经过点、，

解得，
这个二次函数的表达式为 【解析】把点、代入二次函数关系式，即可求出a、b的值即可确定关系式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 18.【答案】解：如图①中，线段EF，即为所求；
如图②中，线段GH即为所求．
 【解析】作出AB的中点E，AC的中点F，连接EF，线段EF即为所求；
在AB上找一点G，使得，在AC上找一点H，使得，连接GH，线段GH即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 19.【答案】解；如图②，过点D作，垂足为E，
则，，
在中，，
，

答：四平烈士塔的高度AB约为 【解析】根据题意，作辅助线，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 20.【答案】全体实数 【解析】解：由题意得，，
解得：，
，
解得：，
故答案为：1，，7；

，
取全体实数，y的值均大于0，
故答案为：全体实数．
把代入，即可求出a的值，把，和，代入，解二元一次方程组，即可求出b，c的值；
把化成顶点式，即可求出时，x的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，利用待定系数法求出a，b，c的值是解题的关键．
 21.【答案】由，
当时，y有最大值为
小山坡最高点到水平线的距离为40米；
把、代入，
得
解得
抛物线所对应的函数表达式；
设运动员运动的水平距离是x米，此时小山坡的高度是，运动员运动的水平高度是，
，解得或舍去，
答：运动员运动的水平距离为为米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米． 【解析】由抛物线的解析式得出最大值即可；
把、代入可得抛物线所对应的函数表达式；
根据纵坐标的差为10，列出方程可得答案．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 22.【答案】 【解析】【探究】为等腰直角三角形，，
，
同理，，
，
，
，
∽；
【应用】等腰直角三角形的斜边长为4，
，
∽，
，
，
，
故答案为：8；
，
，
，
，
，
故答案为：
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由∽，得，则；
由，得，由知，得，从而得出答案．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
故答案为：；
①如图2中，当时，

，
，
，

②如图3中，当时，

，
，
，

综上，当时，；当时，
当时，，，

①当点M在线段AC上，如图，
，
在中，，，
则，
由矩形的性质可知，，，
又，
，
：：CD，即：：8，解得；
②当点N在线段AC上，如图，

在中，，
由矩形的性质可知，，，
又，

：：AB，即：：8，解得；
综上，或
在中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解．
分两种情形求解即可①如图2中，当时，②如图3中，当时；
当时，点P在线段BC上，可求出PQ的长，根据三角形的面积公式求解即可；
分两种情形分别求解即可，①当点M在线段AC上．②当点N在线段AC上．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 24.【答案】解：由得，
抛物线与x轴的交点坐标为、；
由，得抛物线的对称轴为直线，
点P在此抛物线的对称轴上，
，
抛物线与x轴的交点坐标为、，
，
四边形PABM为平行四边形，

，
；
把代入得，
把代入得，
为等腰直角三角形，，

，
，
或，
或，
或；
在中，令得：，解得或，
在中，令得：，解得或，
如图：

在M、N两点之间的部分图象G最低点的纵坐标为n，，
或，
即或 【解析】由得，即得抛物线与x轴的交点坐标为、；
由得抛物线的对称轴为直线，即知，而，根据四边形PABM为平行四边形，有，故，即得；
根据为等腰直角三角形可得，即得或，解得或；
在中，令得：，解得或，令得：，解得或，数形结合可得或，故或
本题考查二次函数综合应用，涉及等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是根据题意列出关于t的方程或不等式．