2021-2022学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期末数学试卷

1.     一个黑色布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     数据1，2，3，4，5的方差是(    )

A. 1 B. 2 C.  D. 4

3.     在中，斜边AB的长为m，，则直角边AC的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     抛物线与x轴两个交点间的距离是(    )

A. 2 B.  C. 4 D.

5.     《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”“用数学语言可表述为：“如图，CD为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径CD的长．“则(    )
    

A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸

6.     如图，已知的半径为1，AB与相切于点A，OB与交于点C，，垂足为点D，则的值等于(    )

A. OD
B. OA
C. CD
D. AB

7.     如图是王阿姨晚饭后步行的路程单位：与时间单位：的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是(    )

A. ，王阿姨步行的路程为800m
B. ，王阿姨步行速度由慢到快
C. 线段CD的函数解析式为
D. 曲线段AB的函数解析式为

8.     已知点，，均在抛物线上，其中若，则m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     若是锐角，，则______.
10. 二次函数的顶点坐标是______.
11. 两个相似三角形的周长之比为，那么它们的面积之比是______.
12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.
13. 老李有一块长方形菜地长大于宽，面积为，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地．那么老李原来的菜地周长为______
14. 若直线经过第一、二、三象限，那么抛物线顶点在第______象限．
15. 如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则的度数为______.

16. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C都在网格线上，其中B、C、D在格点上，AB与CD相交于点D，则______.

17. 如图AB为的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______写所有正确论的号
    ①AM平分；②；③若，，则的长为；④若，则有
18. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是(    )
    ①；
    ②HD平分；
    ③∽；
    ④；
    ⑤线段DH的最小值是；
    ⑥当E、F重合时，延长AG交CD于M，则
     

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

19. 解下列方程：
    ；
     
20. 计算：
    ；
     
21. 如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等指针停在分割线上再转一次
    现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为______.
    小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游规则：随机转动转盘两次、停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．
    你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．

22. 在中，，，，求AB和AC的长；
    在中，，，，解这个直角三角形．
23. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
    现该商场要保证每天盈利6080元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
    若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
24. 如图，AB是的直径，弦于点E，作，过点C作于点
    求证：CF是的切线；
    若，求______直接写出答案

25. 小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为方向，求小王与受伤人员间AC的距离．结果保留根号

26. 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线
    求抛物线的函数表达式；
    如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当时，求点P的坐标；
    若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：布袋中装有3个红球和2个白球，
从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为，
故选：
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
 

2.【答案】B 

【解析】解：，

故选：
先根据平均数的计算方法求出这一组数据的平均数，然后再根据方差公式计算即可．
本题考查方差的定义．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差…，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
 

3.【答案】A 

【解析】解：如图，在中，斜边AB的长为m，，

，
，
直角边AC的长是：，
故选：
根据正弦定义解答即可.
本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切定义是解题的关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：对抛物线，
令时，则，
，
或，
解得：，，
抛物线与x轴两个交点为和，
两个交点之间的距离为，
故选：
令，解关于x的一元二次方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出两点之间的距离．
本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由寸可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x寸，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】
解：连接OA，
，且寸，
寸，
设的半径OA的长为x寸，则寸，
寸，
寸，
在直角三角形AOE中，，
，解得：，
寸．
故选：  

6.【答案】A 

【解析】解：，，
，
在中，
故选：

根据余弦的定义求解．
本题是一道关于圆与三角函数相结合的题目，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
 

7.【答案】B 

【解析】解：A、，王阿姨步行的路程为，故A正确，不符合题意；
B、在A点的速度为，从A点到B点的平均速度为，故B错误，符合题意；
C、设线段CD的函数解析式为，
把，代入得，，
解得：，
线段CD的函数解析式为，故C正确，不符合题意；
D、当时，由图象可得，即抛物线顶点为，
将代入得：，
解得，
曲线段AB的函数解析式为，故D正确，不符合题意；
故选：

根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确地识别图象、数形结合是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，
，
直线为抛物线的对称轴，
点是该抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
点，均在抛物线上，且，
，
解得，
故选：
先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线，则，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
锐角
故答案为
根据特殊角三角函数值可知：，由此解答即可．
此题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标是；
故答案为：
利用配方法把函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的周长之比为：，
这两个相似三角形的相似比为：，
它们的面积之比为：
故答案为：
由两个相似三角形的周长之比为，根据相似三角形的周长比等于相似比，可求得其相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，

     
     ，
解得：，
故答案为：
根据根的判别式得出，再求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键．
 

13.【答案】54 

【解析】解：设原来菜地的宽为xm，由题意可知，原来菜地的长为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
则：，
原来菜地的长为15m，宽为12m，
老李原来的菜地周长为：
故答案为：

设出原来菜地的宽为xm，然后用x表示出原来菜地的长，接着利用面积列出方程，并求解方程，最后通过周长公式求出答案即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．
 

14.【答案】三 

【解析】解：直线经过第一、二、三象限，
，；
抛物线，开口向上，对称轴在y轴左侧，并经过原点，
抛物线顶点在第三象限，
故答案为：三．
根据直线所经过的象限，判断a、b的符号；再根据a、b的符号，结合抛物线的性质，判断抛物线经过的象限．充分运用数形结合的思想．
主要考查了一次函数的性质和二次函数的性质．要会根据图象性质判断字母系数的范围．
 

15.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，
，
四边形OABC为平行四边形，
，
而，
，
为等腰直角三角形，
，

故答案为：
根据切线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，则，所以为等腰直角三角形，从而得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和圆周角定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长CD与网格线相交于点E，连接BE，则E在格点上.

由题意得：
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为：
要求的值，可以转化为和它相等的角，所以想到延长CD到点E，连接BE，然后证明是直角三角形，求出的值即可．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，是解题的关键．
 

17.【答案】①②④ 

【解析】解：连接OM，BM，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，即AM平分，故①正确；
为的直径，
，
，，
，
，故②正确；
，
，
，
，
的长为，故③错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．

连接OM，BM，可证，得出，由可得，故①正确；证明∽，则可得出②正确；求出，，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由可得，则，得出，由余角的性质可求，则，，故④正确．
本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．
 

18.【答案】A 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，故①正确；
同法可证：≌，
，
∽，
∽，故③正确；
，
又，
：，故④正确；
取AB的中点O，连接OD、OH，

正方形的边长为1，
，
由勾股定理得，，
，
、D、H三点共线时，DH最小，
故⑤正确；
如图，当E、F重合时，则点E是AD的中点，设EC与BM的交于点N，

，
∽，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑥正确；
无法证明HD平分，故②错误，
故选：
首先证明≌，≌，≌，利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，等高模型、三边关系一一判断即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于⑤作辅助线并确定出DH最小时的情况．
 

19.【答案】解：，
  ，
则或，
解得，；
，
，
   ，
或，
解得， 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的方法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】解：
             
             
             
             


       
       
        

【解析】首先计算特殊角的三角函数值和小括号里面的加法，然后计算乘法和减法即可．
首先计算特殊角的三角函数值，然后计算分子的减法和分母的乘法，最后用分子除以分母即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

21.【答案】；
这个游戏对双方是不公平的，理由如下：
用表格列出所有等可能的结果如下：

由图可得，一共有9种等可能的结果，其中两数之积为偶数有5种等可能结果，
小明胜两数之积为偶数，
小华胜，
小明胜小华胜，
这个游戏对双方是不公平的，对小明有利． 

【解析】解：指针指向数字1的概率为，
故答案为：
见答案.

直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
 

22.【答案】解：在中，，，，
，
，
，；
在中，，，，
，
，
，
，
，， 

【解析】利用的正弦值和余弦值解答即可；
利用的正切值求出的度数，从而求出的度数和c的值．
本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的边角关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每千克水果涨了x元，
，
解得：，
要顾客得到实惠，
，
答：每千克应涨价6元．
设总利润为y元，
则
     
     ，
，
当时，y有最大值
答：每千克这种水果涨价元，能使商场获利最多． 

【解析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 080元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解；
利用总利润销量每千克利润，进而求出最值即可．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
 

【解析】

【分析】
由等腰三角形的性质及平行线的性质证出，则可得出结论；
根据和垂径定理，可以得到的正弦值，然后设，然后即可表示出CE和AE的长，再根据≌，从而可以得到的值．
【解答】
见答案；
解：，
，
在和中，
，
≌，
，
弦，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，

故答案为：
本题考查切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理、锐角三角函数等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．  

25.【答案】解：过点B作于点D，

由题意得：，，，，
在中，，，
，
     ，
     ，
，
     ，
     ，
，
，
，

小王与受伤人员间AC的距离为 

【解析】首先过点B作于点D，由题意得：，，，，在中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，又由平行线的性质，易证得，继而求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键．
 

26.【答案】解：将点、代入，
，
，
；
令，则，
，
，
，对称轴为直线，
，，
设直线CD的解析式为，将，带入得 ，
，
，
如图1，过C点作CH垂直对称轴交于点H，连接CP交对称轴于点G，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线GC的解析式为，将，带入
得，
，
，
联立，
或
；
如图2，连接AM，过点M作交于点K，
由可得，，
，
，
，，
，
以点M为圆心的圆经过A、B两点，
在中，，即，
圆M与直线CD相切，
，
，
，
，
，
点M的坐标为或 

【解析】将点、代入，即可求解析式；
过C点作CH垂直对称轴交于点H，连接CP交对称轴与点G，可求，由于，可得，求出，即可求，再求直线GC的解析式为，联立，即可求；
过点M作交于点K，则，在中，，又由，则，求出，即可求分别求出，，则可求点M的坐标．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质是解题的关键．