2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷

1.     平面内，的半径为3，若点P在外，则OP的长可能为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2.     一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

3.     下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是(    )

A. 正方体集装箱的体积，棱长xm
B. 高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
C. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

4.     如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，若的周长为6，则的周长等于(    )

A. 24
B. 18
C. 12
D. 9

5.     在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为(    )

A. 98m B.  C. 49m D.

6.     平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.     若，则为______.
8.     点C是线段AB的黄金分割点，若，则______ 
9.     某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______.
10. 一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为______
11. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为______.
12. 有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为______.
     
13. 如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为______.

14. 分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为______

15. 如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为______

16. 中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______.
17. 解下列一元二次方程．
    ；
     
18. 已知二次函数为常数
    求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
    若，当x ______时，y随x的增大而减小．
19. 如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻BC在地面的影长，AC在地面的影长，求窗户的高度．

20. 近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下单位：人：

该周到馆人数的平均数为______人、众数为______人、中位数为______人；
周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？
选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数一个月按30天计

21. “三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划假定生男生女的概率相同：
    甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是______；
    乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率．
22. 已知关于x的一元二次方程、b、c是常数，的两个实数根分别为，，证明：，
23. 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为
    求拱桥所在抛物线的函数表达式；
    因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？结果保留根号

24. 如图，AB是的弦，AC是的切线，，BC交于点D，E是的中点．
    求证：；
    判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

25. 定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形．
    初步运用
    如图是的正方形网格每个小正方形的边长均为，请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；
    
    所画三角形中最大内角度数为______
    再思探究
    如图③，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由．
26. 某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？
    分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写下表用含x的式子表示，并化简；

解答：

27. 问题呈现：探究二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象公共点．
    问题解决：
    问题可转化为：二次函数的图象与一次函数______的图象的公共点．
    在下列平面直角坐标系中画出的图象．
    请结合中图象，就m的取值范围讨论两个图象公共点的个数．
    问题拓展：若二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为______.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：的半径为3，点P在外，
，
故选：
根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
 

2.【答案】D 

【解析】解：把一元二次方程化为一般形式为：，
，，，

     
     
     ，
方程有两个相等的实数根．
故选：
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

3.【答案】B 

【解析】解：正方体集装箱的体积，棱长xm，则，故不是二次函数；
B.高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm，则，故是二次函数；
C.妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D.小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶x h，距上海y km，则南京与上海之间的距离，故不是二次函数．
故选：
根据二次函数的定义逐项判断即可．
本题考查了二次函数的定义，根据实际问题列函数解析式，熟练掌握二次函数定义是解题关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，
∽，
，
的周长为6，
的周长为18，
故选：
根据，得∽，则有，从而得出答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

5.【答案】B 

【解析】解：把代入得，

故选：
把代入可得答案．
本题考查二次函数的实际应用，根据题意把代入是解题关键.
 

6.【答案】C 

【解析】解：如图①，作过A、B两点的与y轴相切与点C，
，
，
，
与y轴相切与点C时，最大．
如图②，作，连接OM、MA、MB，
与y轴相切与点C，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
先确定过A、B两点的与y轴相切与点C时最大，再利用圆的有关知识求出OC的长即可．
本题属于最大张角问题，解题的关键是确定点C的位置．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
可以假设，，

故答案为
由，可以假设，，代入计算即可解决问题．
本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】解：点C是线段AB的黄金分割点，
，
而，

故答案为 

【解析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．
 

9.【答案】 

【解析】解：设平均每次增产的百分率是x，根据题意可得：

故答案为：
设平均每次增产的百分率是x，那么第一次增产后的产量是原来的倍，那么第二次增产后的产量是原来的倍，根据题意列方程解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量．
 

10.【答案】120 

【解析】解：设扇形的圆心角为，
根据题意得，
解得
故答案为
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】或 

【解析】解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，则新的抛物线函数解析式为，即或
故答案是：或
根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

12.【答案】②③ 

【解析】解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本
故②③正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故①错误，
故答案为：②③．
根据离散程度的定义一一判断即可．
本题考查数据的波动程度等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：
设，在中，根据，可得，求出r，即可解决问题．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过A作于D，

，，
，
，，
的面积为，
，
，
故答案为：
其面积=三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出阴影部分的面积=三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
，
，
，即，
，解得，
，
，
即灯杆AB的高度为
故答案为：
根据题意抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列式计算即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量影长的高度测量距离；借助标杆或直尺测量物体的高度．
 

16.【答案】 

【解析】解：设BC边的中点为D，连接AD，

，
，，
点O为的外心，点I为的内心，
内心I和外心O都在直线AD上，
，，
，
，
设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则，
连接OB，在中，，，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，

故答案为：
设BC边的中点为D，连接AD，根据等腰三角形的性质得到，，得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到，设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则，根据勾股定理列方程得到，求得，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
或
，；
，，，
，
，
 

【解析】先整理成一般式，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】证明：当时，
，
方程总有两个实数根，
该二次函数的图象与x轴总有公共点；
解：若，
所以该抛物线的顶点坐标是
由于，
所以当时，y随x的增大而减小．
故答案是：
令得到关于x的二元一次方程，然后证明即可；
根据二次函数的性质作答．
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题的关键，掌握二次函数的性质是解答问题的关键．
 

19.【答案】解：，
，，
，
，
，
解得：，
，
答：窗户的高度为 

【解析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
 

20.【答案】解：，  650 ，650；
由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数不合适；

估算该校一个月的到馆人数为：人 

【解析】解：该周到馆人数的平均数为：人，
众数为650人，中位数为650人，
故答案为：1200，650，650；
见答案.

分别利用平均数、众数、中位数的定义求解即可；
由于周六、周日比周一至周五到馆人数多得多，所以用周一至周五这五天的数据估算该周的平均数不合适；
用该周到馆人数的平均数乘以30即可．
本题考查了统计的有关概念及用样本估计总体的知识，题目相对比较简单，属于基础题．
 

21.【答案】 

【解析】解：第三个孩子是男孩的概率为；
故答案为；
画树状图为：

共有8种等可能的结果数，其中至少有两个孩子是女孩的结果数为4，
所以至少有两个孩子是女孩的概率为
直接根据概率公式可得答案；
画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
 

22.【答案】证明：关于x的一元二次方程、b、c是常数，的两个实数根分别为，，
当时，，，
则，
 

【解析】利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可得证．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根是，，则有，
 

23.【答案】解：设拱桥所在抛物线的函数表达式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
，
即拱桥所在抛物线的函数表达式是；
当时，
        ，
解得，，
，
因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为， 

【解析】根据题意和图象，可以设二次函数的交点式，然后将点代入求出a的值，即可写出该抛物线的解析式；
将代入中的函数解析式，求出相应的x的值，然后作差，即可得到因降暴雨水位上升1m，此时水面宽．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是利用交点式求二次函数的解析式．
 

24.【答案】证明：，

，
，
；
解：四边形ACDE是平行四边形，理由如下：
如图，连接AD，连接AO并延长，交于点F，连接DF，

是直径，
，

是的切线，A是切点，



和都是所对的圆周角，


是的中点，
，

是的外角，




，
，
四边形ACDE是平行四边形． 

【解析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理可得结论；
如图，连接AD，连接AO并延长，交于点F，连接DF，分别证明，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论．
此题考查圆的切线的性质，圆周角定理，三角形的外角等于与它不邻的两个内角的和、等腰三角形的判定等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：；

理由：连接AB、BD，

由网格可得：
，，，
，
的三边比为，
由网格可得：
，，，
，
的三边比为，
∽，
，
平分 

【解析】

【分析】
直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；
，利用网格结合勾股定理求出和各边的长.证明∽，直接利用相似三角形的性质即可得出结论.
解：如图所示：

由网格可得：
，，，
，
的三边比为1：：，
，，，
，
的三边比为，
∽，
，

故答案为：135；
见答案.

此题是三角形的综合题，主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，正确借助网格分析是解题的关键.  

26.【答案】解：商店原来每天可售出甲种礼品40件，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，且甲种礼品每件降低了x元，
每天销售甲种礼品件，
又每天两种礼品共卖出140件，
每天销售乙种礼品件．
商店原来每天可售出乙种礼品80件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件，且乙种礼品每天的销售量为件，
乙种礼品单价提高元，
调价后每件乙种礼品的利润为元．
故答案为：；2x；
设每天的销售利润为y元，则，
即，
，
当时，y取得最大值，最大值为
答：每天销售的最大利润是2000元． 

【解析】利用调价后甲种礼品每天的销售量甲种礼品每件降低的价格，可用含x的代数式表示出调价后甲种礼品的每天销售量，结合每天两种礼品共卖出140件，可用含x的代数式表示出调价后乙种礼品每天的销售量，再利用调价后每件乙种礼品的利润乙种礼品每天的销售量，即可用含x的代数式表示出调价后每件乙种礼品的利润；
设每天的销售利润为y元，利用每天的销售利润=每件甲种礼品的销售利润甲种礼品的日销售量+每件乙种礼品的销售利润乙种礼品的日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
 

27.【答案】解：；
与x轴的交点为和，
对称轴为，图象最高点为
根据上述信息画出的图象，如图1所示：

如图2所示：

①当时，一次函数与二次函数没有交点；
②当时，一次函数即与二次函数只有一个交点，这是一个临界条件；
③随着m减小，当时，一次函数即与二次函数有两个交点，这同样是一个临界条件；
根据①②③：当时，两个图象公共点个数为0个；当时，两个图象公共点个数为1个．
如图3所示：

④令，
即，
，即时，两函数的图象相切，有一个公共点，
当时，一次函数即与二次函数只有1个交点，这是一个临界条件；
⑤当时，一次函数与二次函数没有交点，
根据④⑤：当时，两个图象公共点个数为2个；当时，两个图象公共点个数为1个；当时，两
个图象公共点个数为0个．
综上：当或时，两个图象公共点个数为0个；当或时，两个图象公共点个数为1个；当时，两个图象公共点个数为2个．
 

【解析】解：二次函数与一次函数的公共点可转化为方程有实数根，
可转化为方程有实数根，
二次函数的图象与一次函数的图象的有公共点．
故答案为：
见答案；
将二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象有两个公共点转化为：二次函数的图象与一次函数的图象的公共点．
两函数图象的公共点情况如图4所示：虚线部分与实线部分结合是二次函数的完整图象，实线部分是在本题条件下二次函数在的图象，

二次函数图象的两个端点，，
令，即，
，即时，两函数的图象相切，有一个公共点；
当一次函数过点B时，，两函数的图象有一个公共点，
当一次函数过点A时，两函数的图象有两个公共点，
根据上图所示，当时，两函数的图象有两个公共点．
的取值范围为：
故答案为：
二次函数与一次函数的公共点可转化为方程有实数根，可转化为方程有实数根，即二次函数的图象与一次函数的图象的有公共点．
由题意可知，与x轴的交点为和，定点为，由此可得函数图象；
函数的图象，随着m的值的变化，从下往上开始运动，画出图象，根据量图象的交点可得结论；
将二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象有两个公共点转化为：二次函数的图象与一次函数的图象的公共点．根据中的讨论情况类比讨论可得结论．
本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题之间，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．