2021-2022学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

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已知在△ABC中，∠C=90∘，∠A=α，AB=c，那么BC的长为( )
A. c⋅sinαB. c⋅tanαC. ccsαD. c⋅ctα
如果向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，那么向量a用向量b表示为( )
A. a=3bB. a=−3bC. a=13bD. a=−13b
如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于( )
A. 2
B. 4
C. 245
D. 365
抛物线y=ax2+bx+c(其中a>0、b0)一定不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
下列命题中，说法正确的是( )
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
如图，点E是线段BC的中点，∠B=∠C=∠AED，下列结论中，说法错误的是( )
A. △ABE与△ECD相似B. △ABE与△AED相似
C. ABAE=AEADD. ∠BAE=∠ADE
已知xy=12，那么2xx+y的值为______.
抛物线y=2x2−1的顶点坐标是______.
在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米．
已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC>BC，BC=2，则AC=______.
如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为______.
点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则EFBC=______.
如图，小明沿着坡度i=1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC=______米．
已知抛物线y=ax2+bx−2(ab>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB=2，则点B坐标为______.
我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF=30，GH⊥AB，GH=750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为______.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，tan∠BAC=32，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，连接AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC=∠B，则S△CDES△ABC的值为______.
定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE//BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC中，BC=4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE=______.
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=1，则BE=______.
计算：ct30∘−2sin60∘−tan45∘sin30∘+cs245∘.
抛物线y=−x2+bx+c经过点A(0,3)，B(−1,0).
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标．
(2)填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是______，平移后的抛物线表达式是______.
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB：CD=3：2，点E是边CD的中点，连接BE交对角线AC于点F，若AB=m，AD=n.
(1)用m、n表示AC、AF；
(2)求作BF在BA、BC方向上的分向量．
(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)
如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76∘，在地面点D处测得点A的仰角是53∘，点B仰角是45∘，点A与点D之间的距离为3.5米．
求：(1)点A到地面的距离；
(2)AB的长度．(精确到0.1米)
(参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，sin76∘≈0.97，cs76∘≈0.24)
如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，连接AE、BF，且AB⋅BD=BC⋅BE.
(1)求证：AD=AE；
(2)如果BF=DF，求证：AF⋅CD=AE⋅DF.
抛物线y=ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3)，其顶点D的纵坐标为4.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求∠ACB的正切值；
(3)点F在线段CB的延长线上，且∠AFC=∠DAB，求CF的长．
已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC=OE，射线OE交射线BA于点D.
(1)如图，如果OC=2，求S△ADES△ODB的值；
(2)连接AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时，连接BE、CD，∠DBE=∠CDO，求线段OC的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=c⋅sinα.
故选：A.
本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
根据锐角三角函数的正弦值计算即可．
2.【答案】D
【解析】解：∵向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，
∴3a=−b，
∴a=−13b.
故选：D.
本题考查了平面向量的知识，注意根据题意得到3a=−b是解此题的关键．
由向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，可得a=−13b，继而求得答案．
3.【答案】C
【解析】
【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴ADAF=BCBE，即35=BC12，
∴BC=365，
∴CE=BE−BC=12−365=245.
故选：C.
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理得到ADAF=BCBE，即35=BC12，可计算出BC，然后利用CE=BE−BC进行计算．
4.【答案】C
【解析】解：①∵a>0、c>0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴，
②∵a>0，b0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴与x轴正半轴相交，
综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．
故选：C.
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴．
根据已知条件“a>0，b0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．
5.【答案】D
【解析】解：A、所有的菱形不都相似，故错误，不符合题意；
B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；
C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故正确，符合题意；
故选：D.
本题考查了命题与定义的知识，解题的关键是了解菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识．
利用菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，
∴∠DEC=∠BAE，
∵∠B=∠C，
∴△BAE∽△CED，
∴ABCE=AEED，
∵点E是线段BC的中点，则BE=CE，
∴ABBE=AEDE，
∴ABAE=BEDE，
∵∠B=∠AED，
∴△ABE∽△AED，
∴ABAE=AEAD，
故选项A，B，C正确，D错误.
故选：D.
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．
7.【答案】23
【解析】解：∵xy=12，
∴y=2x，
∴2xx+y=2xx+2x=23.
故答案为：23.
本题考查比例的基本性质，根据已知得到y=2x是解题关键．
由已知可得y=2x，代入所求的代数式可得答案．
8.【答案】(0,−1)
【解析】解：根据顶点坐标公式，得顶点横坐标为x=−b2a=0，纵坐标为y=4ac−b24a=−1，
即顶点坐标是(0,−1).
故答案为：(0,−1).
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
利用顶点坐标公式直接求解．
9.【答案】0.5
【解析】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得1：10000=5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000=50000(厘米)=0.5(千米).
故答案为：0.5.
本题考查了比例线段，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
比例尺=图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
10.【答案】5+1
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，BC=2，
∴AC=5−12AB，
∵AB−AC=BC，
∴AB−5−12AB=2，
解得AB=3+5，
则AC=AB−BC=5+1.
故答案为：5+1.
本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为5−12是解题的关键．
先根据黄金比值为5−12求出AB与AC的关系，再列式计算即可．
11.【答案】9：4
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为3：2，
∴它们的相似比为3：2，
∴它们的面积比为9：4.
故答案为：9：4.
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
已知两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
12.【答案】23
【解析】解：连接AG并延长交BC于点D，
∵EF//BC，
∴AGAD=EGBD=AEAB=EFBC，
∵G是△ABC的重心，
∴AGAD=23，
∴EFBC=23.
故答案为：23.
本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质是解题的关键．
连接AG并延长交BC于点D，由EF//BC，可得AGAD=EGBD=AEAB=EFBC，又由G是△ABC的重心，可得AGAD=23，可得EFBC=23.
13.【答案】5
【解析】解：∵坡度i=1：2.4，
∴AC与BC的比为1：2.4，
设AC=x米，则BC=2.4x米，
由勾股定理，得x2+(2.4x)2=132，
解得x=5，
即AC=5米．
故答案为：5.
本题考查了解直角三角形及勾股定理，理解坡度的意义是解决本题的关键．
由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
14.【答案】(−2,−2)
【解析】解：∵y=ax2+bx−2(ab>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，
∴A(0,−2)，A、B关于对称轴对称，
∵AB=2，
∴点B坐标为(2,−2)或(−2,−2)，
又ab>0，
则对称轴为直线x=−b2a90∘，△AEO是等腰三角形，
∴AE=EO，
由(1)可知：△ABC∽△OEC，
∴OCAC=ECBC，
∴OC5=EC8，
∴EC=85OC，
∵AC=AE+EC=EO+85OC=OC+85OC=5，
∴OC=2513；
如图2，当点E在线段CA的延长线上时，
∵AE=AO90∘，
又△AEO是以AE为腰的等腰三角形，AE=AO，
∴∠AEO=∠AOE，
∵∠B=∠C=∠OEC，
∴∠B=∠AEO，
∴△ABC∽△AEO，
∴AEAB=OEBC，
∴AE5=OC8，
∴AE=58OC，
由(1)可知△ABC∽△OEC，
∴OCAC=ECBC，
∴OC5=EC8，
∴EC=85OC，
∵AC=EC−AE=5，
∴85OC−58OC=5，
∴OC=20039，
综上，线段OC的长为20039或2513；
(3)如图3，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE=∠CDO，∠ABC=∠OCE=∠OEC，
∴∠ABC−∠ABE=∠OEC−∠ODC，
∴∠EBO=∠DCA，
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，∠BOE=∠ACB+∠OEC=2∠ACB，
∴∠DAC=∠BOE，
∴△CDA∽△BEO，
∴CDBE=ACBO，
由(1)得，△ABC∽△OEC，
即∠BAC=∠EOC，
∵∠ABE=∠ODC，∠BAC=∠DOC，
∴△ABE∽△ODC，
∴CDBE=OCAE，
∴ACBO=ACBC−OC=OCAE=OCAC−CE，
由(2)得，EC=85OC，
∴58−OC=OC5−85OC，
∴OC=8−39或OC=8+39(不合题意舍去)，
∴OC=8−39.
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．
(1)通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长、AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；
(2)分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；
(3)通过证明△CDA∽△BEO，可得CDBE=ACBO，通过证明△ABE∽△ODC，可得CDBE=OCAE，列出等式可求解．