2021-2022学年天津市部分区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市部分区九年级（上）期末数学试卷

1.     下列函数中，是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是(    )

A. 5 B.  C.  D. 4

4.     如图，已知点A，都在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.     据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

6.     对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向上 B. 当时，y有最小值是3
C. 对称轴是 D. 顶点坐标是

7.     若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8.     若是关于x的二次函数，则a的值是(    )

A. 1 B.  C.  D. 或

9.     抛物线上有、两点，则和的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知OA为的半径，弦于点P，若，，则的半径
    长为(    )

A. 5
B. 6
C. 10
D.

11. 如图，正方形OABC的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为(    )

A. 2 B.  C.  D.

12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有(    )

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

13. 已知，是一元二次方程的两根，则______.
14. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______.
15. 如图，矩形ABCD中，，以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形，使得点落在边AD上，此时的长为__________.
     

16. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为______.
17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是______
18. 如图，正方形ABCD内接于，PA，PD分别与相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点已知，则图中阴影部分的面积为______.

19. 解下列方程：
    ；
     
20. 如图，已知中，
    画出绕着原点O按顺时针方向旋转后的图形，记为；
    求第问中线段AO旋转时扫过的面积．

21. 如图，已知，C为OB上一点，且，以点C为圆心，试判断半径为了3的圆与OA的位置关系，并说明理由．

22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序，为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，，把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意随机从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：
    抽到的数字有几种可能的结果？
    抽到的数字是1的概率是多少？
    抽到的数字会是0吗？
    抽到的数字小于6的概率是多少？
    抽到的数字不大于4的概率是多少？
23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
    当销售单价为90元时，每月的销售量为______件．
    求该商品每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；不需要求自变量取值范围
    若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
24. 如图，已知AB是的直径，AC是弦，的角平分线交于点D，
    于
    求证：DE是的切线；
    若，，求ED的长．

25. 如图，已知抛物线与x轴交于4、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为
    求m的值及抛物线的顶点坐标；
    求的面积；
    点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.函数是二次函数，故本选项符合题意；
D.函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：
本题考查了二次函数的定义，注意：形如、b、c为常数，的函数，叫二次函数．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
 

2.【答案】B 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

3.【答案】D 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：
故选：
把代入方程，得出一个关于m的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
 

4.【答案】B 

【解析】解：点A、B、C都在上，，

故选：
根据圆周角定理，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

5.【答案】C 

【解析】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：
故选：
根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为元，第三季度GDP总值为元，则函数解析式即可求得．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由得，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y有最大值是3，
故选项A、B、C错误，选项D正确；
故选：
直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】B 

【解析】解：当时，，解得；
当时，此方程是一元二次方程，
关于x的方程有实数根，
，解得，
由、得，k的取值范围是
故选：
由于k的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答．
本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．
 

8.【答案】B 

【解析】解：函数是关于x的二次函数，
且，
解得，
故选：
根据二次函数定义可得且，求解即可．
本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．
 

9.【答案】A 

【解析】解：由抛物线可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上有、两点，且，

故选：
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：如图，连接OB，设

，
，
在中，，
，
，
的直径为
故选：
如图，连接OB，设在中，，构建方程求出x即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】C 

【解析】解：设点B的横坐标为为a，
点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
点B的纵坐标为，
点B在抛物线的第一象限的图象上，
，
解得不合题意，舍去，，
，
点B的坐标为，
连接OB，
则，
四边形OABC是正方形，
，
故选：
根据点B的横坐标与纵坐标之和等于6和点B在抛物线的第一象限的图象上，可以求得点B的坐标．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点B的坐标．
 

12.【答案】B 

【解析】解：①由图象可知：，，
，
，
，故此选项正确；
②当时，，故，错误；
③当时函数值，，且，
即，代入得，得，故此选项C错误；
④当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故此选项正确．
故①④正确．
故选：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为
 

13.【答案】8 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，

故答案为：
利用根与系数的关系即可求出两根之和．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：洗匀后随机抽取一张共有3种等可能结果，其中抽取的卡片数字是负数的只有1种结果，
抽取的卡片数字是负数的概率为，
故答案为：
洗匀后随机抽取一张共有3种等可能结果，其中抽取的卡片数字是负数的只有1种结果，根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】1 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
由旋转的性质可知，，
，
故答案为：
根据，可得结论．
本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：正三角形的中心角是，则边长是：；
故答案为：
正三角形的计算可以过中心作一边的垂线，然后连接中心与这边的端点，即可得到一个直角三角形，解直角三角形即可；
此题考查正多边形与圆问题．正多边形的计算的基本思路是转化为直角三角形的计算是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为r cm，
根据题意得，
解得，
圆锥的底面积为
故答案为：
设圆锥的底面半径为rcm，利用弧长公式得到，然后求出r后求得底面积即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接AC，OD，
四边形ABCD是正方形，
，
是的直径，，
，PD分别与相切于点A和点D，
，
四边形AODP是矩形，
，
矩形AODP是正方形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：
连接AC，OD，根据已知条件得到AC是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，，
，
则，
即，；

，
，
则或，
解得， 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；

线段AO旋转时扫过的面积为： 

【解析】依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到绕着原点O按顺时针方向旋转后的图形；
利用扇形面积计算公式，即可得到线段AO旋转时扫过的面积．
本题主要考查了利用旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

21.【答案】解：相切，
理由：过点C作于点D，
，，
，
以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切． 

【解析】利用直线l和相切，进而判断得出即可．
此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．
 

22.【答案】解：抽到的数字有5种可能的结果；
抽到的数字是1的概率为；
抽到的数字不会是0；
抽到的数字小于6的概率为1；
抽到的数字不大于4的概率 

【解析】共有5个数字得到5个纸团，从而可判断共有5种可能的结果；
根据概率公式求解；
抽到的数字0为不可能事件；
抽到的数字小于6为必然事件；
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式，某事件的概率=某事件所占有的结果数除以总的结果数．
 

23.【答案】100 

【解析】解：当销售单价为90元时，每月的销售量为件，
故答案为：100；

，
与x的函数关系式为；

依题意得：，
即，
解得：，，
，
当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．
根据实际销量=原销售量列式计算即可；
根据以上等量关系求解即可；
根据“每月销售利润=实际销售量实际售价-每件成本”列出方程，再进一步求解即可．
本题主要考查一元二次方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式和方程．
 

24.【答案】证明：连接OD，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接BC，

是的直径，
，
，
，
四边形ECFD是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
的长为 

【解析】连接OD，利用角平分线和等腰三角形证明，即可解答；
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角先证明，从而可得四边形ECFD是矩形，进而可得，，然后再利用勾股定理求出BC，最后根据垂径定理求出CF即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：把点B的坐标为代入抛物线得：，
解得：，
，
顶点坐标为：
点B的坐标为，由知的对称轴为，
，
令，则，



连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，
设直线BC的解析式为：，
点，点，
，
解得：
直线BC的解析式为：，
当时，，
当的值最小时，点P的坐标为： 

【解析】首先把点B的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
根据，求出A、C点坐标，再根据面积公式即得；
首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．