2021-2022学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷

1.     下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

3.     如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：

根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是(    )

A.  B.  C.  D.

4.   若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为(    )

A.  B. 0 C.  D. 1

5.   一元二次方程的两个根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.   某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.   如图，AB是的切线，B为切点，AO与交于点C，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.   若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(    )

A. 6， B. 6，3 C. ，3 D. ，

9.   若一元二次方程的较小根为，则下面对的值估计正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，以边BC的中点D为圆心，BD长为半径画弧，交AC于E点，若，，则扇形BDE的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，的半径弦AB于点C，连结AO并延长交于点E，连结若，，则EC的长为(    )
     

A.
B. 8
C.
D.

12. 已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是______.
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______.
15. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为，若，则______.

16. 当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是______.
17. 汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______
18. 如图，在中，，，
    边BC的长等于______.
    用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边AB上，经过点B，且与边AC相切的，并简要说明作法保留作图痕迹，不要求证明______.

19. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为3，4，6，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．
    从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字能被3整除的概率是______；
    从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．
    ①利用画树状图或列表的方法，写出取出的两张牌的牌面数字所有可能的结果；
    ②求抽取的这两张牌的牌面数字之和是偶数的概率．
20. 解下列关于x的方程．
    ；
     
21. 如图，已知AB为的直径，PD切于点C，交AB的延长线于点D，且
    求的大小；
    若，求的长．

22. 已知抛物线为常数的顶点为
    求该抛物线的解析式；
    点，在该抛物线上，当时，比较与的大小；
    为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标．
23. 已知中，AC为直径，MA、MB分别切于点A、
    
    如图①，若，求的大小；
    如图②，过点B作于E，交于点D，若，求的大小．
24. 在平面直角坐标系中，点，点，点，以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为C，记旋转角为
    如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标；
    如图②，当时，求点C的坐标；
    在的条件下，求点D的坐标直接写出结果即可
     
25. 抛物线为常数经过，两点，与y轴交于C点．
    求该抛物线的解析式；
    设M，P是x轴下方抛物线上的点，过点M作轴交直线BC于点
    ①当MN取得最大值时，求点N的坐标；
    ②以BC为边作▱CBPQ，若，求点P的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】
根据不可能事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的定义是正确判断的前提．
【解答】
解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：  

3.【答案】C 

【解析】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，
故选：
根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
 

4.【答案】C 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：
故选：
把代入方程，得出一个关于m的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
 

5.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想
利用因式分解法解方程即可得到正确选项.
【解答】
解：，
或，
所以，
故选  

6.【答案】D 

【解析】解：二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
即所列的方程为，
故选：
三月份的营业额=一月份的营业额增长率，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：是的切线，B为切点，
，即，
，
，
都是半径，

故选：
根据切线的性质可判断，再由可得出，在等腰中求出即可．
本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出为直角，是等腰三角形，难度一般．
 

8.【答案】C 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键，由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度.
【解答】
解：正方形的边长为6，
，
，

，
即外接圆半径为，内切圆半径为
故选：  

9.【答案】A 

【解析】解：，
，即，
，
方程的最小值是，
，
，
，
，
，
故选：
求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．
本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．
 

10.【答案】C 

【解析】解：，，，
，，
，
，

故选：
求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．
本题考查扇形的面积公式、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角．
 

11.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
根据垂径定理求出，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．
【解答】
解：连接BE，

为直径，
，
，OD过点O，
，
，
，
，
，
在中，
，
故选：  

12.【答案】B 

【解析】解：点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，
若，则此函数开口向上，有最小值，
或，
解得：，
故选：
根据二次函数的性质和题意，可知该函数开口向上，有最小值，从而可以求得的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个黑球，
从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是：
故答案为：
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得
故答案为：
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形ABCD为矩形，
，
矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，

故答案为：
根据矩形的性质得，根据旋转的性质得，，利用对顶角相等得到，再根据四边形的内角和为可计算出，然后利用互余即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数中，，
此函数开口向下，
对称轴，
时函数值y随自变量x的增大而减小，

故答案为：
先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，二次函数的对称轴，再根据时函数值y随自变量x的增大而减小求出m的取值范围即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
 

17.【答案】6 

【解析】解：，
当时，s取得最大值6，
即当时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，
汽车刹车后到停下来前进了6m，
故答案为：
将函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质得出其最大值，最大值即为汽车刹车后到停下来前进的距离．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，得出函数的最大值即为汽车刹车后到停下来前进的距离．
 

18.【答案】3 在射线AP上依次截取，，连接BE，再作交AB于O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆 

【解析】解：，，
；
故答案为：3；
如图，在射线AP上依次截取，，连接BE，再作交AB于O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可．

故答案为：在射线AP上依次截取，，连接BE，再作交AB于O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆．
利用勾股定理计算；
在射线AP上依次截取，，连接BE，再作交AB于O，则可计算出OA、OB，O点到AC的距离等于OB，则以O点为圆心，OB为半径作圆与AC相切．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理和切线的性质．
 

19.【答案】 

【解析】解：共有四张牌，它们的牌面数字分别为3，4，6，9，其中抽取的这张牌的牌面数字能被3整除的有3种，
从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字能被3整除的概率是；
故答案为：；

①画树状图如下：

共有12种等可能的结果，分别是，，，，，，，，，，，；

②共有12种等可能的情况数，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和是偶数的结果有4种，
抽取的这两张牌的牌面数字之和是偶数的概率为
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，，，
，
，
， 

【解析】利用因式分解法求解即可；
整理后，利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接OC，
为的切线，
，
由圆周角定理得：，
，
；
，
，
，
，
的长 

【解析】连接OC，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明，根据等腰直角三角形的性质求出的度数；
根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线的顶点为，
抛物线的解析式为，
即；
抛物线的对称轴为直线，而，
点，在对称轴的右侧的抛物线上，
，
；
点在该抛物线上，
，
，
当时，有最小值2，
 

【解析】利用顶点式直接写出抛物线的解析式；
根据二次函数的性质判断与的大小；
先用m表示得到，然后配成顶点式，从而得到取最小值时m的值，即可得到答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

23.【答案】解：切于点A，
，又，
，
、MB分别切于点A、B，
，
，
；

如图，连接AD、AB，
，又，
，又，
四边形MADB是平行四边形，又，
四边形MADB是菱形，

又为直径，，
，
，又，
，
是等边三角形，
，
在菱形MADB中， 

【解析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出为直角，再由的度数，用求出的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到，利用等边对等角可得出，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出的度数；
连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧的中点，根据等弧对等弦可得出，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出，进而得到，即为等边三角形，根据等边三角形的性质得到为，再利用菱形的对角相等可得出
此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
 

24.【答案】解：如图①，过点D作于点

，
，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，，
；

如图②，过点C作于点T，

，，
，
；

如图②中，过点D作于点J，在DJ上取一点K，使得，设
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得负根已经舍弃，
，，
 

【解析】如图①，如图①，过点D作于点解直角三角形求出OH，DH，可得结论；
如图②，过点C作于点T，解直角三角形求出OT，CT可得结论；
如图②中，过点D作于点J，在DJ上取一点K，使得，设利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：由题意得，
；
①由题意得：，
设直线BC的解析式是：，
，
，
，
设点，，
，
当时，MN最大，
当时，，
；
②作轴，交BC于K，
设点，，
，
，
，
，
，
，，
当时，，
或 

【解析】因为，由交点式直接求得抛物线解析式；
①求出BC的函数解析式，设点M，N的坐标，表示出MN的关系式，进而根据二次函数性质求得结果；
②作轴交BC于K，由▱CBPQ的面积可得的面积，设P点坐标，表示K的坐标，从而确定PK的长，进而根据面积求得点P坐标．
本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是“化曲为直”，转化条件及较强的计算能力．