2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）

1.     下列函数中是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     在中，，，，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     在中，，，那么BC的长是(    )

A. 4 B. 8 C.  D.

5.     已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     如图，已知，AC：：5，那么下列结论正确的是(    )

A. BD：：3
B. AB：：3
C. CD：：5
D. DF：：5

7.     抛物线经过点，那么______.
8.     抛物线的对称轴是______.
9.     抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______.
10. 将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是______.
11. 在中，，，，那么______.
12. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么______.
13. 如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于______千米．结果保留根号
14. 已知x：：3，那么：______.
15. 已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么______.
16. 如图，在中，，，，，那么BF：DE的值是______.

17. 在梯形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，如果、的面积分别是、，那么梯形ABCD的面积等于______
18. 如图，在中，，，，点D在边AC上，CD：：3，连接BD，点E在线段BD上，如果，那么______.
19. 计算：
20. 如图，在梯形ABCD中，，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：：3，，求EH、GE的长．

21. 已知二次函数的图象经过点、、
    求这个二次函数的解析式；
    用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
22. 如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的在航线l上处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点在航线l上处．
    求两个灯塔A和B之间的距离；
    求该轮船航行的速度结果精确到千米/小时参考数据：，，，

23. 如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，连接AE，并延长AE交CG于点
    求证：∽；
    如果CG与EF交于点H，求证：

24. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线上，如图．二次函数的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果轴，点A的横坐标是
    求这个二次函数的解析式；
    设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
    设这个二次函数图象的顶点是M，求的值．

25. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，
    如图1，如果点F与点B重合，求的余切值；
    如图2，点F为在边AB上的一点，设，，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；
    如果BF：：2，求的面积．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C.是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D.函数是二次函数，故本选项符合题意.
故选：
本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的定义，注意：形如、b、c为常数，的函数，叫二次函数．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
 

2.【答案】C 

【解析】解：抛物线的顶点是此抛物线的最低点，
抛物线的开口向上，
，

故选：
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上，即可列出不等式求解．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，，，
，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选：
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义解答即可．
 

4.【答案】B 

【解析】解：过点A作，垂足为D，

在中，，，
，
，，

故选：
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．
过点A作，垂足为D，然后在中，得到，再根据等腰三角形的三线合一即可求解．
 

5.【答案】A 

【解析】解：是单位向量，
，
，
故A正确；
与的大小相同，但方向不一定相同，
故B错误；
与大小相同，但方向不一定相同，
故C错误；
与方向不一定相同，即不一定等于，
故D错误.
故选：
本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．
根据单位向量的性质逐一判断即可．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，AC：：5，
：：：2，A选项错误，不符合题意；
AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；
CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；
DF：：：5，D选项正确，符合题意.
故选：
本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
 

7.【答案】1 

【解析】解：把点代入，得，
解得
故答案为：
本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
根据待定系数法即可求得．
 

8.【答案】直线 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：直线
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
根据抛物线对称轴为直线求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上，
，

故答案为：
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
抛物线开口向上时，抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，即可列出不等式求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：，即
故答案为：
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
按照二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
 

11.【答案】16 

【解析】解：在中，，，，

故答案为：
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在菱形ABCD中，
，，，
设，则，，，
，
在中，
故答案为：
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题需要用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直且平分．
先根据题意画出图形，设，，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分可得出菱形的边长，进而在中可求出的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，，
，
，
，
千米，
即飞机离地面的高度AB等于千米.
故答案为：
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解答此题的关键．
根据平行线的性质可求出的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．
 

14.【答案】5：3 

【解析】解：：：3，
设，则，

故答案为：5：
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
利用设k法进行计算即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，

故答案为：
本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
根据平面向量的加减运算法则求解即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
：DE的值是
故答案为：
本题考查相似三角形的判定与性质，根据“有两个角分别相等的两个三角形相似"证明∽"是解题的关键．
先根据，，证明，，再根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”，证明∽，得，即BF：DE的值是
 

17.【答案】9 

【解析】解：如图，设点B到AC的距离为h，则，
同理，
，
∽，
，，
，
，
，，
，，

故答案为：
本题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，求出OA与OC、OD与OB的比值是解题的关键．
设点B到AC的距离为h，将和用含h的式子表示，推导出，同理得，再由，证明∽，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，求出，再分别求出、的值，由求出梯形ABCD的面积即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点E作，垂足为F，

，，，
，
：：3，
设，则，即，
，，，
，，
∽，
，
设，则，，
，，
∽，
，
，
，
，，

故答案为：
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键．
根据已知，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作，垂足为F，可得∽，进而可得，然后设，则，，最后再证明A字模型相似∽，从而解答即可．
 

19.【答案】解：


 

【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
 

20.【答案】解：，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
，DE：：3，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，

即， 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．
根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．
 

21.【答案】解：把、、代入中，
得：，
解得：，
所以这个二次函数的解析式是：；


，
所以这个二次函数图象的顶点坐标为 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
把、、代入二次函数关系式，列出三元一次方程组进行计算即可；
利用配方法进行计算即可解答．
 

22.【答案】解：由题意，得，，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
千米，
答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米；
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
由题意，得，
，
，
，
设该轮船航行的速度是V千米/小时，
由题意，得，
千米/小时 ，
答：该轮船航行的速度是千米/小时． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识，掌握仰角俯角定义是解题的关键．
根据特殊角三角函数即可解决问题；
根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．
 

23.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
四边形BEFG是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
∽；
由题意，得，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由“SAS”可证≌，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，可得结论．
 

24.【答案】解：二次函数的图象与y轴相交于点C，
点C的坐标为，
轴，
点B的纵坐标是，
点A、B两点在直线上，点A的横坐标是2，
点A的坐标为，点B的坐标为，
这个二次函数的图像也经过点、，
，
解得 ，，
二次函数的解析式是；
根据得，二次函数图象的对称轴是直线，
点D的坐标为，
，，
轴，
，
以点E、O、B组成的三角形与相似可能有以下两种：
①当时，∽，显然这两个三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去；
②当时，∽，
，
，
又点E在x轴的负半轴上，
点E的坐标为；
过点C作，垂足为H，
根据得，二次函数的解析式是的顶点坐标为，
设直线AM的解析式为，
，
解得，，
直线AM的解析式为，
设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，
则点P的坐标为，点Q的坐标为，
是等腰直角三角形，，
，
，
点C的坐标为，
，
，
又，
，
 

【解析】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．
求出C，A，B三点的坐标，由待定系数法得出方程组，解方程组可得出答案；
根据相似三角形的判定分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得出答案；
过点C作，垂足为H，求出直线AM的解析式，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为，点Q的坐标为，由等腰直角三角形的性质求出CH和MH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
 

25.【答案】解：如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，

，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
在中，设，
，
，
，
四边形ABCD的周长是16，
，
即 ，
，
，，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
；
，
，，
，
，
∽，
，
由可得，，，，
，
，
定义域是：；
点F在射线AB上都能得到：∽，
，
①当点F在边AB上，
：：2，，
则可得，
由题意，得，
，
，
，
；
②当点F在AB的延长线上，
：：2，，
，
由题意，得，
，
，

综上所述，的面积是或 

【解析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
设，则，由勾股定理求出，由四边形ABCD的周长求出，求出AM的长，则可得出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，得出，，，，由比例线段可得出答案；
分两种情况：①当点F在边AB上；②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．