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苏科版九年级下册6.2 黄金分割课堂检测
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这是一份苏科版九年级下册6.2 黄金分割课堂检测，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.2黄金分割--课后提升练
一、选择题
1、一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2、已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（ ）
A．0.618 B．1.382 C．1.236 D．0.764
3、某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
4、已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A． B． C． D．
5、点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
6、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
8、如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
9、古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
10、我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则等于
A． B． C． D．
二、填空题
11、已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
12、把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
13、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
14、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
15、某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 ．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）
16、如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
17、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
18、“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
三、解答题
19、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
20、如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
21、△ABC中，D是BC上一点，若，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
22、如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
23、如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
24、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
6.2黄金分割--课后提升练解析
一、选择题
1、一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【解答】解：一条线段的黄金分割点有2个．
故选：B．
2、已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（ ）
A．0.618 B．1.382 C．1.236 D．0.764
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，由题意知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点是线段的黄金分割点（），
∴AP=AB=≈1.236
故选：C
3、某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【分析】
设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】
如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
4、已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】
解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2×＝ ．
故选：B．
5、点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．
【详解】
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC=AC，
∵AC=4，
∴BC=．
故选：B．
6、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，AB：AC=AC：BC，
∴AB=AC，BC=AB-AC=AB，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；
故选：A．
7、如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
【答案】D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
8、如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
9、古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴,即，解得CD=，
∴==，
故选：A．
10、我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则等于
A． B． C． D．
【分析】设，根据黄金矩形的概念求出，结合图形计算，得到答案．
【解析】设，
矩形为黄金矩形，
，
，
，
故选：．
二、填空题
11、已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【解析】由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则，
故答案为：．
12、把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
【解析】
根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．
解：较长线段的长=×4=（2）cm．
故答案为（2）cm．
13、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
【答案】6.18
【分析】
根据黄金分割点的意义计算即可
【详解】
如图，∵P为的黄金分割点（），且=，
∴AP：AB=，
∴AP=0.618×10=6.18（cm），
故答案为：6．18．
14、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【解答】解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈7.8≈8，
经检验y≈7.8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．
故答案为8．
15、某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 ．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）
【分析】利用黄金分割的定义计算出装饰品离手杖下端的距离，从而得到计算装饰品离手杖上端的距离．
【解析】装饰品离手杖下端的距离，
所以装饰品离手杖上端的距离．
故答案为．
16、如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点， ∴较小线段AD＝BC=,
则CD＝AD+BC-AB＝2×-
解得：x＝2． 故答案为：2
【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段＝原线段的倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则AB即可求得．
17、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
【解析】要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到AB的1-0.618=0.382倍处即可，因为此点为线段AB的一个黄金分割点．
【详解】根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20×≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为7.6
18、“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
【答案】﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD=BC，然后表示出BD、DE的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题
19、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
证明：在正方形ABCD中，设AB＝2a.
∵N为BC的中点，
∴NC＝BC＝a.
在Rt△DNC中，
ND＝＝＝a.
又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a.
∴＝＝，即矩形DCEF为黄金矩形.
20、如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由黄金分割点的定义即可得出答案；
（2）设，则，由黄金分割的定义代入数值即可求出的长．
【详解】
解：（1）∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴；
（2）设，则，
∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为：．
21、△ABC中，D是BC上一点，若，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：∵＝，＝，
又∵＝，
∴＝，
∴D是BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知＝，
∴BD＝BC，
∴DC＝BC﹣BD＝BC﹣BC＝BC，
∵＝＝，
∴S△ACD＝S△ABC＝×20＝30﹣10．
22、如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【详解】
解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，
∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
,
即，∴点B是线段AC的黄金分割点．
23、如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
【答案】（1）－1，3－；（2）证明见解析；（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点
【分析】
（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】
解：（1）∵P为边AB的中点，∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，
∴DM＝AD－AM＝3－．
（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM．
（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD•DM，∴，
∴点M是AD的黄金分割点．
24、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；
（Ⅱ）根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
【解析】（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴=2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac， ∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），∴c＝8． ∴a=，b＝﹣2．
∴y=x2﹣2x+8=（x﹣2）2+6，
∵>0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1-．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB•AB＝（1+）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB•AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
6.2黄金分割--课后提升练
一、选择题
1、一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
2、已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（ ）
A．0.618 B．1.382 C．1.236 D．0.764
3、某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
4、已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A． B． C． D．
5、点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
6、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
8、如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
9、古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
10、我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则等于
A． B． C． D．
二、填空题
11、已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
12、把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
13、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
14、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
15、某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 ．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）
16、如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
17、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
18、“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
三、解答题
19、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
20、如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
21、△ABC中，D是BC上一点，若，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
22、如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
23、如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
24、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
6.2黄金分割--课后提升练解析
一、选择题
1、一条线段的黄金分割点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【解答】解：一条线段的黄金分割点有2个．
故选：B．
2、已知点是线段的黄金分割点（），，那么的长约为（ ）
A．0.618 B．1.382 C．1.236 D．0.764
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的定义，由题意知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可．
【详解】
解：∵线段AB=2，点是线段的黄金分割点（），
∴AP=AB=≈1.236
故选：C
3、某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【分析】
设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】
如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，
根据题意，AC=1.58米,
∴BC=1.58÷0.618=2.56米，
故车长为1.58+2.56=4.14米，
故选:A．
4、已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】
解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2×＝ ．
故选：B．
5、点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC．若AC=4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=AC，将AC=4代入即可得出BC的长度．
【详解】
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC=AC，
∵AC=4，
∴BC=．
故选：B．
6、若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，AB：AC=AC：BC，
∴AB=AC，BC=AB-AC=AB，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；
故选：A．
7、如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
【答案】D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
8、如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
9、古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴,即，解得CD=，
∴==，
故选：A．
10、我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形的边上取一点，使得，连接，则等于
A． B． C． D．
【分析】设，根据黄金矩形的概念求出，结合图形计算，得到答案．
【解析】设，
矩形为黄金矩形，
，
，
，
故选：．
二、填空题
11、已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【解析】由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则，
故答案为：．
12、把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．
【解析】
根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．
解：较长线段的长=×4=（2）cm．
故答案为（2）cm．
13、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为）．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较长线段的长度为_______．
【答案】6.18
【分析】
根据黄金分割点的意义计算即可
【详解】
如图，∵P为的黄金分割点（），且=，
∴AP：AB=，
∴AP=0.618×10=6.18（cm），
故答案为：6．18．
14、在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【解答】解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈7.8≈8，
经检验y≈7.8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．
故答案为8．
15、某公司生产一种新型手杖，其长为，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 ．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号）
【分析】利用黄金分割的定义计算出装饰品离手杖下端的距离，从而得到计算装饰品离手杖上端的距离．
【解析】装饰品离手杖下端的距离，
所以装饰品离手杖上端的距离．
故答案为．
16、如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．
【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点， ∴较小线段AD＝BC=,
则CD＝AD+BC-AB＝2×-
解得：x＝2． 故答案为：2
【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段＝原线段的倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则AB即可求得．
17、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
【解析】要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到AB的1-0.618=0.382倍处即可，因为此点为线段AB的一个黄金分割点．
【详解】根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20×≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为7.6
18、“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
【答案】﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD=BC，然后表示出BD、DE的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题
19、宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
证明：在正方形ABCD中，设AB＝2a.
∵N为BC的中点，
∴NC＝BC＝a.
在Rt△DNC中，
ND＝＝＝a.
又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a.
∴＝＝，即矩形DCEF为黄金矩形.
20、如图，是五角星中线段的黄金分割点．
（1）写出一个与相等的线段比；
（2）若的长为，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由黄金分割点的定义即可得出答案；
（2）设，则，由黄金分割的定义代入数值即可求出的长．
【详解】
解：（1）∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴；
（2）设，则，
∵是五角星中线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴的长为：．
21、△ABC中，D是BC上一点，若，则称AD为△ABC的黄金分割线．
（1）求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分割点；
（2）若S△ABC＝20，求△ACD的面积．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：∵＝，＝，
又∵＝，
∴＝，
∴D是BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知＝，
∴BD＝BC，
∴DC＝BC﹣BD＝BC﹣BC＝BC，
∵＝＝，
∴S△ACD＝S△ABC＝×20＝30﹣10．
22、如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】
（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【详解】
解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，
∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
,
即，∴点B是线段AC的黄金分割点．
23、如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
【答案】（1）－1，3－；（2）证明见解析；（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点
【分析】
（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】
解：（1）∵P为边AB的中点，∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，
∴DM＝AD－AM＝3－．
（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，AD·DM＝2(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM．
（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD•DM，∴，
∴点M是AD的黄金分割点．
24、如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于
A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；
（Ⅱ）根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
【解析】（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴=2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac， ∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），∴c＝8． ∴a=，b＝﹣2．
∴y=x2﹣2x+8=（x﹣2）2+6，
∵>0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1-．
∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．
OA2＝（3+）2＝14+6．
OB•AB＝（1+）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB•AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．
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