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初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质复习练习题
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这是一份初中数学苏科版九年级下册6.5 相似三角形的性质复习练习题，共25页。试卷主要包含了填空题请把答案直接填写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.5 相似三角形的性质 培优训练
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
2．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变化 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2
9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是 ．
12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为 ．
13．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为 cm．
14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为 cm2．
15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 ．
17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 ．
18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）求证：CD2＝OD•BD．
22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，
∵BC＝1，
∴EF＝2，
故选：B．
2．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解析】∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
3．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．
故选：C．
5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变化 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解析】Rt△ABC中，cosA，
Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，
cosA．
故选：A．
6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到，由相似三角形的性质得到S△CBF＝4S△AEF＝8，利用三角形的面积公式得到S△ABFS△CBF＝4，S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵E是矩形ABCD中AD边的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴（）2，
∴S△CBF＝4S△AEF＝8，
∴S△ABFS△CBF＝4，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，
∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，
故选：C．
7．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设小正方形的边长为1，由平行线分线段成比例可求CN，DG的长，通过证明△CEN∽△DEG，可得，可求解．
【解析】如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，
∵AF∥CH，
∴△BNH∽△BAF，
∴，
∴NHAF，
∴CN＝CH﹣NH，
∵DM∥AF，
∴，
∴DG，
∵CH∥DM，
∴△CEN∽△DEG，
∴，
故选：C．
8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2
【分析】利用平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，则可判断△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质求解．
【解析】∵DE：EC＝3：2，
∴DE：DC＝3：5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴DE：AB＝3：5，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴（）2＝（）2．
故选：C．
9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2＝（）2．
故选：D．
10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵点D、E是AB的三等分点，
∴，，
∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，
∴，，
∴S1：S2：S3＝1：3：5，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是 1：2 ．
【分析】利用三角形的中位线定理得到三角形的相似比即可．
【解析】因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，
所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是 1：2，
所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，
故答案为：1：2．
12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为 3：2 ．
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故答案为：3：2
13．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为 48 cm．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解析】两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设小多边形的周长为xcm，
则有64：x＝4：3，
解得x＝48，
故答案为：48．
14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为 26 cm2．
【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．
【解析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为10cm2，
∴9x﹣4x＝10，
解得：x＝2，
∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．
故答案为：26．
15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝2，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝2，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，
∴AC，
故答案为：．
16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 10 ．
【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△AEF∽△CDF，可得，可得CF＝2AF，即可求解．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，
∴AC15，
∵E是边AB中点，
∴AE＝6，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴CF＝2AF，
∵AF+CF＝AC＝15，
∴AF＝5，
∴CF＝10，
故答案为：10．
17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 或或 ．
【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．
【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12，
设AD＝x，
（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x；
（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x；
（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，
∴Rt△ADG∽Rt△ACB，
∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x，
综上所述，AD的长为或或．
故答案为或或．
18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．
【解析】∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，
∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴，
∴，
∴AM，
∴CM＝AC﹣AM＝8．
②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，
∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM•CA，
∴25＝CM•8，
∴CM，
故答案为或．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．
【解析】（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，
∴，
∴DE＝8（cm）．
20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
【分析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得TD＝TE，再利用三角形的面积公式可证明结论；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形的面积公式可求解S△ABT：S△ACT＝BT：TC，再结合（1）的结论可证明结论．
【解析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，
∵AT为∠BAC的平分线，
∴TD＝TE，
∵S△ABTAB•TD，S△ACTAC•TE，AB＝3，AC＝4，
∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABTBT•h，S△ACTTC•h，
∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，
由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，
∴．
21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）求证：CD2＝OD•BD．
【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论；
（2）通过证明△CDO∽△BDC，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）连接AC，交BD与H，
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，
∴∠AOB＝2∠ADO，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴OA＝OD，
∴OA＝OC，
又∵AH＝CH，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD．
由（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．
在△CDO和△BDC中，
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．
∴，
即CD2＝OD•BD．
22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；
（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解析】（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，
当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；
（2）两种情况：
当时，即，解得t＝1.2（秒）；
当时，即，解得t＝3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQCP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．
【解析】由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为Scm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．
因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
6.5 相似三角形的性质 培优训练
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
2．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变化 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2
9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是 ．
12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为 ．
13．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为 cm．
14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为 cm2．
15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 ．
17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 ．
18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）求证：CD2＝OD•BD．
22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，
∵BC＝1，
∴EF＝2，
故选：B．
2．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解析】∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
3．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．
故选：C．
5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变化 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解析】Rt△ABC中，cosA，
Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，
cosA．
故选：A．
6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到，由相似三角形的性质得到S△CBF＝4S△AEF＝8，利用三角形的面积公式得到S△ABFS△CBF＝4，S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵E是矩形ABCD中AD边的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴（）2，
∴S△CBF＝4S△AEF＝8，
∴S△ABFS△CBF＝4，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，
∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，
故选：C．
7．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设小正方形的边长为1，由平行线分线段成比例可求CN，DG的长，通过证明△CEN∽△DEG，可得，可求解．
【解析】如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，
∵AF∥CH，
∴△BNH∽△BAF，
∴，
∴NHAF，
∴CN＝CH﹣NH，
∵DM∥AF，
∴，
∴DG，
∵CH∥DM，
∴△CEN∽△DEG，
∴，
故选：C．
8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2
【分析】利用平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，则可判断△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质求解．
【解析】∵DE：EC＝3：2，
∴DE：DC＝3：5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴DE：AB＝3：5，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴（）2＝（）2．
故选：C．
9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2＝（）2．
故选：D．
10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵点D、E是AB的三等分点，
∴，，
∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，
∴，，
∴S1：S2：S3＝1：3：5，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是 1：2 ．
【分析】利用三角形的中位线定理得到三角形的相似比即可．
【解析】因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，
所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是 1：2，
所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，
故答案为：1：2．
12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为 3：2 ．
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故答案为：3：2
13．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为 48 cm．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解析】两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设小多边形的周长为xcm，
则有64：x＝4：3，
解得x＝48，
故答案为：48．
14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为 26 cm2．
【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．
【解析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为10cm2，
∴9x﹣4x＝10，
解得：x＝2，
∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．
故答案为：26．
15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝2，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝2，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，
∴AC，
故答案为：．
16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 10 ．
【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△AEF∽△CDF，可得，可得CF＝2AF，即可求解．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，
∴AC15，
∵E是边AB中点，
∴AE＝6，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∴CF＝2AF，
∵AF+CF＝AC＝15，
∴AF＝5，
∴CF＝10，
故答案为：10．
17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 或或 ．
【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．
【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∴△ABC的周长为3+4+5＝12，
设AD＝x，
（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x；
（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x；
（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，
∴Rt△ADG∽Rt△ACB，
∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x，
综上所述，AD的长为或或．
故答案为或或．
18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝ 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．
【解析】∵∠ACB＝90°，AO＝OB，
∴OC＝OA＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，
∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，
∴∠OMC+∠B＝180°，
∴∠MOB+∠BCM＝180°，
∴∠MOB＝90°，
∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴，
∴，
∴AM，
∴CM＝AC﹣AM＝8．
②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，
∵∠BOC＝∠OMN，
∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC＝∠A，
∵∠MCO＝∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM•CA，
∴25＝CM•8，
∴CM，
故答案为或．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．
【解析】（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，
∴，
∴DE＝8（cm）．
20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，
（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．
（2）求证：．
【分析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得TD＝TE，再利用三角形的面积公式可证明结论；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形的面积公式可求解S△ABT：S△ACT＝BT：TC，再结合（1）的结论可证明结论．
【解析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，
∵AT为∠BAC的平分线，
∴TD＝TE，
∵S△ABTAB•TD，S△ACTAC•TE，AB＝3，AC＝4，
∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；
（2）设△ABC中BC边上的高为h，
则S△ABTBT•h，S△ACTTC•h，
∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，
由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，
∴．
21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）求证：CD2＝OD•BD．
【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论；
（2）通过证明△CDO∽△BDC，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）连接AC，交BD与H，
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，
∴∠AOB＝2∠ADO，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴OA＝OD，
∴OA＝OC，
又∵AH＝CH，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝∠CBD．
由（1）得∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠DBC．
在△CDO和△BDC中，
∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD
∴△CDO∽△BDC．
∴，
即CD2＝OD•BD．
22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；
（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解析】（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，
当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；
（2）两种情况：
当时，即，解得t＝1.2（秒）；
当时，即，解得t＝3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：；
24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQCP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．
【解析】由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，
由勾股定理得PQ；
（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为Scm2；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．
因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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