初中数学6.7用相似三角形解决问题达标测试

初中数学苏科版九年级下册 6.7 用相似三角形解决问题 同步训练

一、单选题

1.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（   ）

A. 20m                                    B. 16m                                    C. 18m                                    D. 15m

2．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

3．（2020秋•江阴市校级月考）一棵高为6m的树在地面上的影长为2m，此时测得附近一个建筑物的影长为5m，该建筑物的高为（　　）

A．9m B．30m C．2.5m D．15m

4．（2019春•工业园区期末）如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（　　）

A．变长了0.8m B．变长了1.2m C．变短了0.8m D．变短了1.2m

5.  如图，小伟设计两个直角三角形来测量河宽，他量得，，，则河宽为（ ）

A. B. C. D.

6.  如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由向走去当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为（ ）

A.米 B.米 C.米 D.米

7.  如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：
①；②＝；③＝；④．
其中正确的结论有（ ）

A.个 B.个 C.个 D.个

8.  兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）

A.米 B.米 C.米 D.米

9.  小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小明在后，两人之间的距离始终与小阳的影长相等．在这种情况下，他们两人之间的距离（ ）

A.始终不变 B.越来越远 C.时近时远 D.越来越近

10.  如图，路灯距地面米，身高米的小明从距离灯底（点）米的点处，沿所在直线行走米到达点时，小明身影长度（ ）

A.变长米 B.变短米 C.变短米 D.变短米

二、填空题

11.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于________m

12．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则▱DEFG的面积为　   　．

13．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为　   　．

14．如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用2.5m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距5m、与旗杆相距20m，则旗杆的高度为　   　m．

15.如图，一电线杆 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起 米高的直杆 ，量得其影长 为 米，量得电线杆 落在地上的影子 长 米，落在墙上的影子 的高为 米，则电线杆 的高为________米． 

三、解答题

16．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．

17．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．

18．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2cm，AB＝BC＝8cm，CD＝10cm．动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B﹣A﹣D﹣C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C﹣D﹣A方向向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时，另一点也同时停止，设运动时间为t秒．问：

（1）当点P在边BA上运动，t＝　   　时，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分；

（2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值或取值范围；若不存在，请说明理由．

19如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m. 

（1）求灯杆AB的高度；   

（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.   

20如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m. 

（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；   

（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长.   

21.如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合).  

（1）求证：△ABE∽△DCA；   

（2）若BE·CD=k（k为常数），求k的值；   

（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化?为什么?   

参考答案

一、单选题

1.【答案】 C  

解：∵ ，

∴ ，

解得旗杆的高度= =18m．

故答案为：C．

2．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．

【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，

∵三角尺与投影三角尺相似，

∴8：x＝2：5，

解得x＝20．

故选：A．

3．（2020秋•江阴市校级月考）一棵高为6m的树在地面上的影长为2m，此时测得附近一个建筑物的影长为5m，该建筑物的高为（　　）

A．9m B．30m C．2.5m D．15m

【分析】设建筑物的高度为xm，根据同时同地物高与影长成正比例列出比例式求解即可．

【解析】设建筑物的高度为xm，

由题意得，，

解得：x＝15，

即建筑物的高度为15m．

故选：D．

4．（2019春•工业园区期末）如图，有一高度为8m的灯塔AB，在灯光下，身高为1.6m的小亮从距离灯塔底端4.8m的点C处，沿BC方向前进3.2m到达点D处，那么他的影长（　　）

A．变长了0.8m B．变长了1.2m C．变短了0.8m D．变短了1.2m

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．．

【解析】如图，设小亮两次的影从分别为CH，DG．

∵EC∥AB∥DF，

∴△HEC∽△HAB，

∴，

∴，

解得CH＝1.2（m）

∵△GFD∽△GAB，

∴，

∴，

解得DG＝2（m），

∵DG﹣CH＝0.8（m），

∴他的影长变长了0.8m．

故选：A．

5.

【答案】

B

【解答】

解：∵   ，
∴   ，
∴   ，
∵   ，，，
∴   ，
解得：，
故选：．

6.

【答案】

D

【解答】

解：如图，由题意得，，
∴   ，
即，
解得，
即树的高度为米．
故选．

7.

【答案】

B

【解答】

过作交于，
∵   四边形是矩形，
∴   ，＝，＝，
∵   于点，
∴   ＝，＝＝，
∴   ，故①正确；
∵   ，
∴   ，
∴   ，
∵   ，
∴   ，
∴   ＝，故②正确，
∵   ，，
∴   四边形是平行四边形，
∴   ＝，
∴   ＝，
∴   ＝，
∵   于点，，
∴   ，
∴   ＝，故③正确；
设＝，＝，则＝，
由，有 ，即．
∵   ，故④错误，

8.

【答案】

C

【解答】

解：设树在第一级台阶上面的部分高米，
则，
解得，
∴   树高是米．
故选．

9.

【答案】

D

【解答】

解：因为小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下这一过程中离光源是由远到近的过程，所以他在地上的影子会变短，所以他们两人之间的距离越来越近．故选．

10.

【答案】

D

【解答】

解：∵   ，，
∴   ，
∴   ，
∴   ，即，
解得；
同理可得，∴   ，
∴  
即，
解得，
∴   ．
故选．

二、填空题

11.【答案】 40  

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠CED=90°
∵∠AEB=∠CED
∴△ABE∽△DCE
∴即
解之：AB=40.
故答案为：40.
12．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，

∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，

∴BC＝＝10cm，

∴AM＝＝4.8（cm），

∵四边形DEFG是平行四边形，

∴DE∥BC，DE＝FG＝5cm，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝，

∴AN＝MN＝2.4cm，

∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．

故答案为：12cm2．

13．解：∵CD＝AC，CE＝BC，

∴＝＝，

又∵∠ACB＝∠ECD，

∴△ABC∽△DEC，

∴＝＝，

∵DE＝20m，

∴AB＝40m，

故答案为：40m．

14．解：由图可知：

设旗杆的高度为x米，

，

解得x＝12.5．

故答案为12.5．

15.【答案】 8  

解：过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，

∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，

∴∠NFM＝∠ACG，

∴△NMF∽△AGC，

∴ ，

∴AG＝ ＝6，

∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，

故电线杆AB的高为8米

故答案为8．

三、解答题

16．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，

∴SO∥AB，

∴△ABC∽△SOC，

∴＝，即＝，

解得OB＝h﹣1①，

同理，∵A′B′⊥OC′，

∴△A′B′C′∽△SOC′，

∴＝，＝②，

把①代入②得，＝，

解得h＝9（米）．

答：路灯离地面的高度是9米．

17．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．

由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，

∴△CND∽△ANB，

∴＝．

同理，△EMF∽△AMB，

∴＝．

∵EF＝CD，

∴＝，即＝．

解得x＝5，

∵＝，

∴＝．

解得AB＝8．

答：大树AB的高度为8米．

18．解：（1）∵BP＝CQ＝t，

∴AP＝8﹣t，DQ＝10﹣t，

∵AP+AD+DQ＝PB+BC+CQ，

∴8﹣t+2+10﹣t＝t+8+t，

∴t＝3＜8，

∴当t＝3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．

故答案为3．

（2）第一种情况：如图1中，当0＜t≤8时，若△PAD∽△QEC，则∠ADP＝∠C，

∴tan∠ADP＝tan∠C＝＝，

∴＝，

∴t＝．

若△PAD∽△CEQ则∠APD＝∠C，

∴tan∠APD＝tan∠C＝，

∴＝，

∴t＝．

第二种情况：当8＜t≤10时，P、A、D三点不能组成三角形．

第三种情况：当10＜t≤12时，△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似．

∴t＝或t＝时，△PAD与△CQE相似．

（3）第一种情况：如图2中，当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．

∵AP＝8﹣t，AD＝2，

∴PD＝＝，

∵CE＝t，QE＝t，

∴QH＝BE＝8﹣t，BH＝QE＝t，

∴PH＝t﹣t＝t，

∴PQ＝＝，DQ＝10﹣t，

当DQ＝DP，10﹣t＝，

解得t＝8秒，

当DQ＝PQ，10﹣t＝，

化简得：3t2﹣52t+180＝0，

解得：t＝或＞8（不合题意舍去），

∴t＝．

第二种情况：如图3中，8≤t≤10时．DP＝DQ＝10﹣t．

∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：如图4中，10＜t≤12时．DP＝DQ＝t﹣10．

∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

综上所述，t＝或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．

19【答案】 （1）解：∵AB∥CD， 

∴△CDF∽△ABF，

∴CD：AB=DF：BF，

∴1.6：AB=3：12，

解得：AB=6.4.

答：灯杆AB的高度为6.4米.

（2）解：假设全部在地上，设影长为x， 

则CD：AB=DF：BF，

∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，

解得：x= ，而9+7+ -18= ＞0.故有部分影子落在墙上.

因为超过的影长为 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，解得：y=1.

故落在墙上的影子长为1米.

20【答案】 （1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影. 

（2）解：∵AC∥DF， 

∴∠ACB=∠DFE，

∵∠ABC=∠DEF=90°，

∴△ABC∽△DEF，

∴AB：DE=BC：EF，

∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，

∴5：DE=3：6，

∴DE=10m.

【考点】相似三角形的应用   

分析：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.

21.【答案】 （1）证明：∵三角形ABC和三角形AFG是两个全等的等腰直角三角形， 

∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°，

∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，

∴∠BAE=∠CDA，

∴△ABE∽△DCA，

（2）解：由（1）可知△ABE∽△DCA， 

∴ ，

∴

又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，

∴AB=CA=4，

∴ ，

即 ，

（3）解：不变． 

∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，

∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC

∴∠BEA=∠CAD，

又∵∠ABE=∠DCA=45°，

∴△EBA∽△ACD，

∴ ，

∴ ，