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数学苏科版第6章 图形的相似综合与测试同步练习题
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这是一份数学苏科版第6章 图形的相似综合与测试同步练习题，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九下数学第二章图形的相似--阶段性测试卷
满分：120分
班级： 姓名： 学号： 分数：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm,2cm,1cm,3cm B．1cm,2cm,3cm,5cm
C．3cm,4cm,5cm,6cm D．1cm,2cm,2cm,4cm
2．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
3．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
4．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
5．如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标（ ）
A． B． C．（0，5） D．（0，6）
6．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（－1，－2） C．（－2，－4） D．（－2，－1）
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
9．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
10．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．两个相似三角形的对应高的比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm2，则另一个三角形的面积为________cm2．
12．已知∽，且相似比为，若中边上的中线，则中边上的中线=________．
13．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8．7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2．7 m，观测者目高CD＝1．6 m，则树高AB约是________．（精确到0．1m）
15．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝________，BF＝________．
16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD，CD＝AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为________．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A2，2，B4，0，C6，4，以原点为位似中心，将△ ABC缩小，位似比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC的中点，点F是CD边上的任意一点，当ΔAEF的周长最小时，DF= ．
19．如图,在□ABCD中,点P为边AB上的一点,E,F分别是PD,PC的中点,CD=2．则①EF= ；②设△PEF,△PAD,△PBC的面积分别为、、．已知,则 ．
20．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014= ．
三、解答题（每小题10分，共70分）
21．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．
23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB．
24．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M．求矩形的长与宽．
25．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG＝4，求BE的长．
26．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）．
27．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点、F是CD上的点，连接AE、EF、AC，EF和AC相交于点O．
（1）求证：AO•OF=OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm,2cm,1cm,3cm B．1cm,2cm,3cm,5cm
C．3cm,4cm,5cm,6cm D．1cm,2cm,2cm,4cm
【答案】D
【解析】
试题分析：A．从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
B．从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
C．从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；
D．从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．
故选D
【难度】容易
2．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【解析】点P在对应点M和点N所在直线上，
故选：D．
【难度】较易
3．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
【答案】D
【解析】设它的实际长度为xcm，则
＝，x＝200 000，200 000cm＝2000m．
故选D．
【难度】较易
4．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意易知：△ABD∽△ECD
∴
∴m．
故选B．
【难度】一般
5．如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标（ ）
A． B． C．（0，5） D．（0，6）
【答案】C
【解析】因为D点在y轴上，所以横坐标为0．因此只需求OD的长度即可．根据 AB∥CD可得△AOB∽△COD，根据对应边成比例求解．，解得DO=5，所以D（0,5）．
【难度】一般
6．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3－1＝2，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选B．
【难度】一般
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（－1，－2） C．（－2，－4） D．（－2，－1）
【答案】C
【解析】根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（－2，－4），
故选C．
【难度】一般
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
【答案】D
【解析】
试题分析：过E作EM⊥CD，反向延长交AB于点N，
∵平行四边形ABCD中，OB=OD，E为OD的中点，
∴BE=3DE，CD∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
，
∴，
∴DF∶FC=1：2．
故选D．
【难度】一般
9．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
【答案】B
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．
故选：C．
【难度】较难
10．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
AC2=BC•AB，
AC2-BC•AB=0，
AC2-（AB-AC）AB=0，
AC2+AB•AC-AB2=0，
AC=，
∵边长为正值，
∴AC=AB，BC=AB-AC=，
∴
,
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选B．
【难度】困难
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．两个相似三角形的对应高的比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm2，则另一个三角形的面积为________cm2．
【答案】1或81
【解析】
试题分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分情况讨论求解即可．
试题解析：∵两个相似三角形的对应高的比是1：3，
∴它们的相似比是1：3，
设另一个三角形的面积是x，
则或
解得x=1或x=81．
【难度】较易
12．已知∽，且相似比为，若中边上的中线，则中边上的中线=________．
【答案】6
【解析】
试题分析：因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解．
∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，
∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3，
∵△ABC中BC边上的中线AM=8，
∴△DEF中EF边上的中线DN=6．
【难度】较易
13．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．
【答案】1∶2
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA∶OA′＝10∶20＝1∶2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA∶OA′＝1∶2．故答案为：1∶2．
【难度】一般
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8．7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2．7 m，观测者目高CD＝1．6 m，则树高AB约是________．（精确到0．1m）
【答案】5．2 m
【解析】由题意知∠CDE＝∠ABE＝90°，又由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB．∴＝，∴＝，
∴AB≈5．2米．
【难度】一般
15．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝________，BF＝________．
【答案】 6
【解析】△AFE∽△CDE，＝为相似比，所以面积比为相似比的平方，即．由比例式＝＝，所以AF＝4，则BF＝6．
【难度】一般
16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD，CD＝AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为________．
【答案】
【解析】连结BD
∵E、F分别为AB、AD中点，
∴EF＝BD EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝＝，∴＝，
∵CD＝AB，CB⊥DC，AB∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故答案为
【难度】一般
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A2，2，B4，0，C6，4，以原点为位似中心，将△ ABC缩小，位似比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________．
【答案】－2，−32或2，32
【解析】∵ A（2，2），C（6，4），∴ 其中点坐标P为（4，3），又以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1∶2，∴ 线段AC的中点P变换后对应点的坐标为－2，−32或2，32．
【难度】一般
18．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC的中点，点F是CD边上的任意一点，当ΔAEF的周长最小时，DF= ．
【答案】6．
【解析】
分析：先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．
解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=6，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴CD∥AB，
∴，
即 ，
解得CF=3，
∴DF=CD-CF=9-3=6．
【难度】较难
19．如图,在□ABCD中,点P为边AB上的一点,E,F分别是PD,PC的中点,CD=2．则①EF= ；②设△PEF,△PAD,△PBC的面积分别为、、．已知,则 ．
【答案】1, 12
【解析】
试题分析：①∵E,F分别是PD,PC的中点,CD=2
∴EF=CD=1
②过P作PQ∥BC交DC于点Q,由BC∥AD,得到PQ∥AD,
∴四边形PQCB与四边形APQD都为平行四边形,
∴△PDA≌△DQP,△CBP≌△PQC,
∴S△PDA=S△DQP,S△CBP=S△PQC,
∵EF为△PCD的中位线,
∴EF∥DC,EF=CD,
∴△PEF∽△PCD,且相似比为1：2,
∴S△PEF：S△PCD=1：4,S△PEF=3,
∴S△PDC=S△DQP+S△QPC=S△PAD+S△PBC=S1+S2=12．
故答案是1,12．
【难度】较难
20．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014= ．
【答案】·（）2013
【解析】
试题分析：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=，
∴S1=××=；
同理可得，S2=×；
…
∴Sn=×（）n﹣1；
∴S2014=·（）2013．
故答案是·（）2013．
【难度】困难
三、解答题（每小题10分，共70分）
21．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【答案】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴，即，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
【解析】
试题分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
解：（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴，即，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
【难度】较易
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．
【答案】
【解析】
分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
试题解析：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
从而∠1=∠3，
∵AD=6，
∴CD=AD=6，
过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴BC=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=．
【难度】一般
23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB．
【答案】证明：（1）如图∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE．
（2）如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB．
【解析】
证明：（1）如图∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE．
（2）如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB．
【难度】一般
24．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M．求矩形的长与宽．
【答案】24cm和12cm
【解析】
解：∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG，
∴＝
∵四边形HEDM为矩形，
∴MD＝HE，
∵HG＝2HE，设HE＝x，则HG＝2x，DM＝x，
∴＝，解得x＝12，
∴HG＝2×12＝24，
∴矩形的长和宽分别为24cm和12cm．
【难度】一般
25．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG＝4，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）4
【解析】
（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC＝22．5°＝∠FDC，
∴∠BDF＝45°＋22．5°＝67．5°，
∠F＝90°－22．5°＝67．5°＝∠BDF，
∴BD＝BF，∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC＝67．5°＝∠DEG，
∴∠DGB＝180°－22．5°－67．5°＝90°，
即BG⊥DF，∵BD＝BF，∴DF＝2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG·EG＝4，
∴＝，
∴BG·EG＝DG·DG＝4，
∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．
【难度】一般
26．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）．
【答案】（1）如图；
（2）4＋6
【解析】
解：（1）根据位似图形的性质，分别取线段OA、OB、OC中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′、得到△A′B′C′如图；
（2）因为小正方形的边长是1，由勾股定理得A′C′＝2，AC＝4，又A′A＝C′C＝2，所以四边形AA′C′C的周长＝4＋6．
【难度】一般
27．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点、F是CD上的点，连接AE、EF、AC，EF和AC相交于点O．
（1）求证：AO•OF=OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
【答案】
（1）证明：∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴AD=EC=BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；
（2）证明：∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=AE，
∴EG=DG，
∴四边形EFDG是菱形．
【解析】
分析：（1）由BC=2AD，点E是BC的中点，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四边形AECD是平行四边形，即可得AE∥CD，继而证得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；
（2）易得EF是△BCD的中位线，则可判定四边形EFDG是平行四边形，又由直角三角形斜边上的中线的性质，证得DG=EG，继而证得四边形EFDG是菱形．
解：（1）证明：∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴AD=EC=BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；
（2）证明：∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=AE，
∴EG=DG，
∴四边形EFDG是菱形．
【难度】一般
九下数学第二章图形的相似--阶段性测试卷
满分：120分
班级： 姓名： 学号： 分数：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm,2cm,1cm,3cm B．1cm,2cm,3cm,5cm
C．3cm,4cm,5cm,6cm D．1cm,2cm,2cm,4cm
2．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
3．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
4．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
5．如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标（ ）
A． B． C．（0，5） D．（0，6）
6．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（－1，－2） C．（－2，－4） D．（－2，－1）
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
9．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
10．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．两个相似三角形的对应高的比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm2，则另一个三角形的面积为________cm2．
12．已知∽，且相似比为，若中边上的中线，则中边上的中线=________．
13．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8．7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2．7 m，观测者目高CD＝1．6 m，则树高AB约是________．（精确到0．1m）
15．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝________，BF＝________．
16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD，CD＝AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为________．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A2，2，B4，0，C6，4，以原点为位似中心，将△ ABC缩小，位似比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC的中点，点F是CD边上的任意一点，当ΔAEF的周长最小时，DF= ．
19．如图,在□ABCD中,点P为边AB上的一点,E,F分别是PD,PC的中点,CD=2．则①EF= ；②设△PEF,△PAD,△PBC的面积分别为、、．已知,则 ．
20．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014= ．
三、解答题（每小题10分，共70分）
21．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．
23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB．
24．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M．求矩形的长与宽．
25．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG＝4，求BE的长．
26．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）．
27．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点、F是CD上的点，连接AE、EF、AC，EF和AC相交于点O．
（1）求证：AO•OF=OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4cm,2cm,1cm,3cm B．1cm,2cm,3cm,5cm
C．3cm,4cm,5cm,6cm D．1cm,2cm,2cm,4cm
【答案】D
【解析】
试题分析：A．从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
B．从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；
C．从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；
D．从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．
故选D
【难度】容易
2．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【解析】点P在对应点M和点N所在直线上，
故选：D．
【难度】较易
3．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（ ）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
【答案】D
【解析】设它的实际长度为xcm，则
＝，x＝200 000，200 000cm＝2000m．
故选D．
【难度】较易
4．如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（ ）
A．120m B．100m C．75m D．25m
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意易知：△ABD∽△ECD
∴
∴m．
故选B．
【难度】一般
5．如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标（ ）
A． B． C．（0，5） D．（0，6）
【答案】C
【解析】因为D点在y轴上，所以横坐标为0．因此只需求OD的长度即可．根据 AB∥CD可得△AOB∽△COD，根据对应边成比例求解．，解得DO=5，所以D（0,5）．
【难度】一般
6．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3，
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3－1＝2，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选B．
【难度】一般
7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（－1，－2） C．（－2，－4） D．（－2，－1）
【答案】C
【解析】根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（－2，－4），
故选C．
【难度】一般
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC=（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
【答案】D
【解析】
试题分析：过E作EM⊥CD，反向延长交AB于点N，
∵平行四边形ABCD中，OB=OD，E为OD的中点，
∴BE=3DE，CD∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
，
∴，
∴DF∶FC=1：2．
故选D．
【难度】一般
9．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
【答案】B
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．
故选：C．
【难度】较难
10．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
AC2=BC•AB，
AC2-BC•AB=0，
AC2-（AB-AC）AB=0，
AC2+AB•AC-AB2=0，
AC=，
∵边长为正值，
∴AC=AB，BC=AB-AC=，
∴
,
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选B．
【难度】困难
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．两个相似三角形的对应高的比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm2，则另一个三角形的面积为________cm2．
【答案】1或81
【解析】
试题分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分情况讨论求解即可．
试题解析：∵两个相似三角形的对应高的比是1：3，
∴它们的相似比是1：3，
设另一个三角形的面积是x，
则或
解得x=1或x=81．
【难度】较易
12．已知∽，且相似比为，若中边上的中线，则中边上的中线=________．
【答案】6
【解析】
试题分析：因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解．
∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，
∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3，
∵△ABC中BC边上的中线AM=8，
∴△DEF中EF边上的中线DN=6．
【难度】较易
13．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．
【答案】1∶2
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA∶OA′＝10∶20＝1∶2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA∶OA′＝1∶2．故答案为：1∶2．
【难度】一般
14．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8．7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2．7 m，观测者目高CD＝1．6 m，则树高AB约是________．（精确到0．1m）
【答案】5．2 m
【解析】由题意知∠CDE＝∠ABE＝90°，又由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB．∴＝，∴＝，
∴AB≈5．2米．
【难度】一般
15．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且＝，则＝________，BF＝________．
【答案】 6
【解析】△AFE∽△CDE，＝为相似比，所以面积比为相似比的平方，即．由比例式＝＝，所以AF＝4，则BF＝6．
【难度】一般
16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD，CD＝AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为________．
【答案】
【解析】连结BD
∵E、F分别为AB、AD中点，
∴EF＝BD EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝＝，∴＝，
∵CD＝AB，CB⊥DC，AB∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故答案为
【难度】一般
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A2，2，B4，0，C6，4，以原点为位似中心，将△ ABC缩小，位似比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为_________．
【答案】－2，−32或2，32
【解析】∵ A（2，2），C（6，4），∴ 其中点坐标P为（4，3），又以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1∶2，∴ 线段AC的中点P变换后对应点的坐标为－2，−32或2，32．
【难度】一般
18．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC的中点，点F是CD边上的任意一点，当ΔAEF的周长最小时，DF= ．
【答案】6．
【解析】
分析：先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．
解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=6，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴CD∥AB，
∴，
即 ，
解得CF=3，
∴DF=CD-CF=9-3=6．
【难度】较难
19．如图,在□ABCD中,点P为边AB上的一点,E,F分别是PD,PC的中点,CD=2．则①EF= ；②设△PEF,△PAD,△PBC的面积分别为、、．已知,则 ．
【答案】1, 12
【解析】
试题分析：①∵E,F分别是PD,PC的中点,CD=2
∴EF=CD=1
②过P作PQ∥BC交DC于点Q,由BC∥AD,得到PQ∥AD,
∴四边形PQCB与四边形APQD都为平行四边形,
∴△PDA≌△DQP,△CBP≌△PQC,
∴S△PDA=S△DQP,S△CBP=S△PQC,
∵EF为△PCD的中位线,
∴EF∥DC,EF=CD,
∴△PEF∽△PCD,且相似比为1：2,
∴S△PEF：S△PCD=1：4,S△PEF=3,
∴S△PDC=S△DQP+S△QPC=S△PAD+S△PBC=S1+S2=12．
故答案是1,12．
【难度】较难
20．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2014= ．
【答案】·（）2013
【解析】
试题分析：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF=，
∴S1=××=；
同理可得，S2=×；
…
∴Sn=×（）n﹣1；
∴S2014=·（）2013．
故答案是·（）2013．
【难度】困难
三、解答题（每小题10分，共70分）
21．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【答案】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴，即，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
【解析】
试题分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
解：（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴，即，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
【难度】较易
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．
【答案】
【解析】
分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
试题解析：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
从而∠1=∠3，
∵AD=6，
∴CD=AD=6，
过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴BC=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=．
【难度】一般
23．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB．
【答案】证明：（1）如图∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE．
（2）如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB．
【解析】
证明：（1）如图∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE．
（2）如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB．
【难度】一般
24．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M．求矩形的长与宽．
【答案】24cm和12cm
【解析】
解：∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG，
∴＝
∵四边形HEDM为矩形，
∴MD＝HE，
∵HG＝2HE，设HE＝x，则HG＝2x，DM＝x，
∴＝，解得x＝12，
∴HG＝2×12＝24，
∴矩形的长和宽分别为24cm和12cm．
【难度】一般
25．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG＝4，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）4
【解析】
（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，
∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠EBC＝22．5°＝∠FDC，
∴∠BDF＝45°＋22．5°＝67．5°，
∠F＝90°－22．5°＝67．5°＝∠BDF，
∴BD＝BF，∵△BCE≌△DCF，
∴∠F＝∠BEC＝67．5°＝∠DEG，
∴∠DGB＝180°－22．5°－67．5°＝90°，
即BG⊥DF，∵BD＝BF，∴DF＝2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG·EG＝4，
∴＝，
∴BG·EG＝DG·DG＝4，
∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．
【难度】一般
26．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）．
【答案】（1）如图；
（2）4＋6
【解析】
解：（1）根据位似图形的性质，分别取线段OA、OB、OC中点A′、B′、C′，顺次连接A′、B′、C′、得到△A′B′C′如图；
（2）因为小正方形的边长是1，由勾股定理得A′C′＝2，AC＝4，又A′A＝C′C＝2，所以四边形AA′C′C的周长＝4＋6．
【难度】一般
27．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点、F是CD上的点，连接AE、EF、AC，EF和AC相交于点O．
（1）求证：AO•OF=OC•OE；
（2）若点F是DC的中点，连接BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形．
【答案】
（1）证明：∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴AD=EC=BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；
（2）证明：∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=AE，
∴EG=DG，
∴四边形EFDG是菱形．
【解析】
分析：（1）由BC=2AD，点E是BC的中点，可得AD=CE，又由AD∥BC，可得四边形AECD是平行四边形，即可得AE∥CD，继而证得△AOE∽△COF，即可判定AO•OF=OC•OE；
（2）易得EF是△BCD的中位线，则可判定四边形EFDG是平行四边形，又由直角三角形斜边上的中线的性质，证得DG=EG，继而证得四边形EFDG是菱形．
解：（1）证明：∵BC=2AD，点E是BC的中点，
∴AD=EC=BC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COF，
∴OA：OC=OE：OF，
∴AO•OF=OC•OE；
（2）证明：∵E是BC的中点，F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∵AE∥CD，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴DG：BG=AD：EB=AG：EG，
∵AD=BE=BC，
∴AG=EG，DG=BG，
∵∠ABC=90°，
∴BG=GE=AE，
∴EG=DG，
∴四边形EFDG是菱形．
【难度】一般
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