初中数学苏科版七年级上册6.5 垂直同步练习题

这是一份初中数学苏科版七年级上册6.5 垂直同步练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.5垂直【课后综合练】
-2021-2022学年七年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　
A．B． C．D．
3、体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线

(3题) (5题) (6题)
4、下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（　　）
A．B．C．D．
5、如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，
PC＝3cm，则点P到直线m的距离可能为（　　）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
6、如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
7、如图，直线与相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．

(7题) (9题)
8、∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
9、如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，如果∠COE=15°，那么∠BOD的度数是（ ）

A．75° B．50° C．60° D．70°

10、如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于

(10题) (12题)
二、填空题
11、下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是__________．
12、如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段　 　搭建最短，理由是　　 ．
13、如图所示，，，则下列结论中，正确的为　 　（填序号）．
①点到的距离是线段的长度；②线段的长度是点到的距离；
③点到的垂线段是线段．

(13题) (14题) (15题)
14、如图，直线，相交于点，，．则_____；

15、如图，直线和相交于点，，，，则的度数为　 　．
16、如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________

(16题) (17题) (18题)
17、如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___．

18、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥OF，且OC平分∠AOE，若∠BOF＝38°，则∠DOF＝___度．

三、解答题








19、如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B、C均在格点上，按下述要求画图并标注相关字母．
（1）画线段AB，画射线BC，画直线AC；
（2）过点B画线段BD⊥AC，垂足为点D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AC于点F．




20、如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，
在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，
垂足为D；并完成填空：
①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．



21、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．
（1）求∠2的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．

22、如图，直线、相交于点，，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若比大，求的度数．


23、已知：如图，直线相交于点O，于O．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．



24、如图，已知直线、、相交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若是的平分线，那么是的平分线吗？说明你的理由．











25、如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE=90°，∠EOD=60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD=20°时，则∠AOE=______；
（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE=7∠COD，试求∠AOE的大小．
















6.5垂直【课后综合练】-2021-2022学年七年级数学上册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．
【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．
故选：．

2、下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是　　
A．B． C．D．
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
【解析】线段的长表示点到直线距离的是图，

故选：．

3、体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（ ）

A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】
由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解析】
解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：A．


4、下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．
【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
∴C选项的画法正确，
故选：C．

5、如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，
PC＝3cm，则点P到直线m的距离可能为（　　）

A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
【答案】A
【分析】点P到直线m的距离即为点P到直线m的垂线段的长度，据此解答即可．
【详解】解：由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于3cm，可以是2cm，故选：A．
6、如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（　　）

A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
【分析】利用垂线的性质解答．
【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．

7、如图，直线与相交于点，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由EF⊥AB可确定∠FEA的度数，再由对顶角相等可确定∠AED的度数，∠AED+∠AEF即是∠DEF的度数．
【详解】解：∵EF⊥AB，∴∠AEF=∠FEB=90°，
∵∠CEB=45°，∴∠AED=45°，∴∠DEF=∠DEA+∠AEF=90°+45°=135°，故选：B．


8、∠A两边分别垂直于∠B的两边，∠A与∠B的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
【答案】C
【分析】分别画出∠A两边分别垂直于∠B的两边，然后利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】解：如图所示：BE⊥AE，BC⊥AC，∴∠BCF=∠AEF=90°，
∴∠A+∠AFE=90°，∠B+∠BFC=90°，∴∠A=∠B

如图所示：BD⊥AD，BC⊥AC，∴∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠A+∠BEC=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE+∠DBC=180°，∴∠A+∠DBC=180°，
综上所述，∠A与∠B的关系是相等或互补，故选C．

9、如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，如果∠COE=15°，那么∠BOD的度数是（ ）

A．75° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】
根据OF⊥OC，可得∠COF=90°，由∠COE=15°，可求∠EOF=75°，由OE平分∠AOF，可求∠AOF＝150°，根据角的和差计算，得到答案．
【详解】
解：∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∵∠COE=15°
∴∠EOF=90°-∠COE=90°-15°=75°，
∵OE平分∠AOF，，
∴∠AOF＝2∠EOF＝150°，
∴∠AOC＝∠AOF°﹣∠FOC＝150°-90°=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°
故选：C．


10、如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．
【详解】
∵于点O，
∴∠AOE=,
∵OF平分，
∴∠2=，故A正确；
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，故B正确，
∵,
∴与互为补角，故C正确；
∵，
∴的余角=，故D错误，
故选：D．


二、填空题
11、下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是__________．
【答案】①②
【分析】
解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断．
【详解】
解：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直，正确；
②一条直线的垂线有无数条，正确，过任意一点都可以作；
对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点无数条直线与已知直线垂直，当这点在直线外时，过这点也有无数条直线与已知直线垂直，故③错误；
④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

故答案为：①②．


12、如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段　 　搭建最短，理由是　　 ．

【分析】根据垂线段最短的性质填写即可．
【解析】，
由垂线段最短可知是最短的，
故答案为：，垂线段最短．

13、如图所示，，，则下列结论中，正确的为　 　（填序号）．
①点到的距离是线段的长度；②线段的长度是点到的距离；
③点到的垂线段是线段．

【分析】利用点到直线的距离定义可得正确答案．
【解析】，
点到的距离是线段的长度，①正确；
，
，
线段的长度是点到的距离，②正确
，
到的垂线段是线段，③不正确．
其中正确的为①②，
故答案是：①②．

14、如图，直线，相交于点，，．则_____；

【答案】60
【分析】
先利用已知结合平角的定义得出∠BOD的度数，再利用垂线的定义结合互余的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=×180°=30°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=90°-∠BOD=90°-30°=60°．
故答案为：60．

15、如图，直线和相交于点，，，，则的度数为　 　．

【分析】根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据与是邻补角，可得答案．
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．


16、如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________

【答案】12
【分析】
作CP⊥AB于P，根据垂线段最短可知此线段PC就是最小值，根据三角形的面积公式求出PC即可．
【详解】
解：作CP⊥AB于P，如图：
由垂线段最短可知，此时PC最小，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，
解得，PC＝12，
故答案为：12．

17、如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE___．

【答案】36°
【分析】
根据OA⊥OB，∠FOD＝4∠COB求得∠BOC，∠AOD,再根据OD平分∠AOF，平角的定义求得∠AOE
【详解】
解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∵∠FOD＝4∠COB，∴设∠BOC＝x°，则∠FOD＝4x°，
∵OD平分∠AOF，∴∠AOD＝∠FOD＝4x°，
∴x+4x+90°＝180°，解得：x＝18，
∴∠BOC＝18°，∴∠FOD＝∠AOD＝18°×4＝72°，
∴∠AOE＝180°-∠FOD -∠AOD =180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．

18、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥OF，且OC平分∠AOE，若∠BOF＝38°，则∠DOF＝___度．

【答案】26
【分析】
首先根据OE⊥OF，∠BOF＝38°，求出∠BOE＝52°；然后求出∠AOE＝128°，再根据OC平分∠AOE，求出∠AOC的度数；最后根据∠BOD和∠AOC互为对顶角，求出∠BOD的度数，即可求出∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，
∵∠BOF＝38°，∴∠BOE＝90°﹣38°＝52°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣52°＝128°，
又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠AOE＝×128°＝64°，
∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝64°，
∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝64°﹣38°＝26°．
故答案为：26．

三、解答题
19、如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，按下述要求画图并标注相关字母．
（1）画线段AB，画射线BC，画直线AC；
（2）过点B画线段BD⊥AC，垂足为点D；
（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AC于点F．

【答案】（1）如图所示，线段AB，射线BC，直线AC即为所求；见解析；（2）线段BD即为所求；见解析；（3）直线EF即为所求．见解析.
【分析】
（1）连接AB、以B为端点，作射线BC、过点A、C作直线即可；
（2）根据网格结构，作过点B所在的小正方形对角线与直线AC相交于点D，即为所求；
（3）根据网格结构，作过点E所在的小正方形对角线所在的射线与直线AC相交于点F，即为所求．
【详解】
（1）如图所示，线段AB，射线BC，直线AC即为所求；
（2）线段BD即为所求；
（3）直线EF即为所求．



20、如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段　 　的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC　 　OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．

【答案】（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析
【分析】
（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）取格点E，作直线AE即可．
【详解】
解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离．
故答案为：PD．

②根据垂线段最短可知，PC＜OC．
故答案为：＜．
（2）如图，直线AE即为所求作．

21、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．
（1）求∠2的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．

【答案】（1）38°；（2）52°
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝58°，然后利用角的和差计算求解；
（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝58°．
∴∠BOD＝58°．
∵∠1＝20°．
∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝38°．
（2）∵OF⊥OE．
∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝90°﹣∠2＝52°．

22、如图，直线、相交于点，，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若比大，求的度数．

【分析】（1）根据垂直和角平分线定义即可求解．
（2）根据角关系．建立等量关系，即可求解．
【解析】（1）．
．
．
．
平分．
．
．
（2）设，则．
平分．
．
．
．
即：．
．

23、已知：如图，直线相交于点O，于O．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．

【答案】（1）130°；（2）40°或140°
【分析】
（1）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（2）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=40°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°．
【详解】
解：（1）∵∠BOD：∠BOC=2：7，
∴∠BOD=∠COD=40°，
∴∠AOC=40°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+40°=130°；
（2）分两种情况：
若F在射线OM上，
∵∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EOF=∠BOD=40°；
若F'在射线ON上，
则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=140°；

综上所述，∠EOF的度数为40°或140°．

24、如图，已知直线、、相交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若是的平分线，那么是的平分线吗？说明你的理由．

【分析】（1）由对顶角的性质可得，由垂线的性质可得，即可求解；
（2）由垂线的性质和对顶角的性质可求，可得结论．
【解析】（1）、相交于点，，
，
，即，
；
（2）是的角平分线，
理由如下：是的角平分线，，
又，，
，，
，平分．

25、如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE=90°，∠EOD=60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD=20°时，则∠AOE=______；
（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE=7∠COD，试求∠AOE的大小．

【答案】（1）130°；（2）∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；（3）∠AOE=131.25°或175°．
【分析】
(1)求出∠COE的度数，即可求出答案；
(2)分为两种情况，根据∠AOC=90°和∠DOE=60°求出即可；
(3)根据∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可．
【解析】
(1)∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，
∵OD在OA和OC之间，∠COD=20°，∠EOD=60°，
∴∠COE=60°-20°=40°，∴∠AOE=90°+40°=130°，
故答案为130°；
(2)在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，

有两种情况：①如图1、∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=60°，
∴∠AOD-∠COE=90°-60°=30°，
②如图2、∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，∠COE=∠DOE+∠DOC=60°+∠DOC，
∴∠AOD-∠COE=(90°+∠COD)-(60°+∠COD)=30°，
即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；

(3)如图1、∵∠AOE=7∠COD，∠AOC=90°，∠DOE=60°，
∴90°+60°-∠COD=7∠COD，解得：∠COD=18.75°，
∴∠AOE=7×18.75°=131.25°；
如图2、∵∠AOE=7∠COD，∠AOC=90°，∠DOE=60°，
∴90°+60°+∠COD=7∠COD，∴∠COD=25°，
∴∠AOE=7×25°=175°，即∠AOE=131.25°或175°．