2023扬州中学高三上学期期中考试数学试题含答案

2022－2023学年度第一学期期中检测试题

                       高 三 数 学                 2022.11.9

(全卷满分150分，考试时间120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)

1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{1，2，3，4}，则

A．{5}      B．{3，4}         C．{3，4，5}        D．{1，2，3，4，5}

2．的值为

A．1            B．             C．               D．

3．古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为

A．            B．              C．               D．

4．(x－2)()6的展开式中x的系数为

A．－280             B．－40            C．40             D．280

5．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若＝5，则sinα＋cosα的值为

A．               B．              C．              D．

6．已知函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＝f(x)，则不等式f(x)＞2ecosx在区间(0，)上的解集为

A．(0，)              B．(，)           C．(，)          D．(0，)

7．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是

A．中位数为4，众数为4               B．中位数为3，极差为4

C．平均数为3，方差为2               D．平均数为4，25百分位数为2

8．若a＝，b＝()10，c＝e，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为

A．a＜b＜c         B．b＜c＜a        C．c＜b＜a        D．c＜a＜b

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)＞0，g(x)＞0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法中正确的有

A．f(x)＋g(x)是增函数                B．f(x)－g(x)是减函数

C．f(x)g(x)是增函数                  D．是减函数

10．下列说法中正确的有

A．若a＞b＞0，则                 B．若a＜b＜0，c＜d，则ac＜bd

C．若a＜b，c＜d，则a－d＜b－c        D．若a3＜b3，则a2＜b2

11．已知奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法中正确的有

A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称

B．当x∈[0，]时，函数g(x)的最小值是－

C．函数g(x)在区间[－，]上单调递增

D．若函数y＝g(x)－k(x－)有且仅有3个零点，则所有零点之和为

12．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都为R，f(0)＝0，f(1－2x)＝f(2x－1)，f(1－x2)－f(1＋x2)＋4x2＝0，则下列说法中正确的有

A．导函数f′(x)为奇函数               B．2是函数f(x)的一个周期

C．f(2k)＝4k2(k∈Z)                   D．f′(2023)＝4046

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知sin(α＋)＝，则cos(2α＋)＝        ．

14．已知直线y＝kx曲线y＝log2x的切线，则实数k＝        ．

15．图1是一枚质地均匀的骰子，图2是一个正六边形(边长为1个单位)棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：先将一棋子放在正六边形ABCDEF的顶点A处．如果掷出的点数为i(i＝1，2，3，4，5，6)，则棋子就按顺时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷两次骰子后棋子恰好有又回到点A处的所有不同走法共有        种．

图1               图2

16．中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为         ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为        ．

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知命题：∀x∈[0，1]，x2＋x－m＜0是真命题．

(1)求实数m的取值集合A；

(2)设集合B＝{x|＞0}(其中a＞0)，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝m2x＋是R上的奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若存在实数t∈[0，2]，使得f(t2－k)＋f(2－kt)≥0成立，求实数k的取值范围．

19．(本小题满分12分)

在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．

(1)若cos∠CBD＝，求sinC；

(2)记四边形ABCD的面积为S，求S的最大值．

20．(本小题满分12分)

如图，在体积为1的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝，BC＝2，CD⊥PB，PB＝PD．

(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；

(2)若点E为棱BC上一动点，求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值．

21．(本小题满分12分)

甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记－1分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．

(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；

(2)经过3轮比赛，用Pn(n＝1，2，3)表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点(n，Pn)(n＝1，2，3)均在函数f(x)＝m(s－tx)的图象上，求实数m，s，t的值．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝(x－ae2x＋2)ex，其中e为自然对数的底数．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a＞0时，

(i)若f(x)≤1恒成立，求实数a的最小值；

(ii)若f(x)存在最大值，求实数a的取值范围．