2023安康高二上学期期中考试数学（文）含解析

2022-2023学年第一学期高二年级期中考试

文科数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则

A.   B.   C.   D.

2.已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是

A.若，则   B.若，则

C.若，则   D.若，则

3.函数的部分图象大致为

A.   B.

C.   D.

4.圆：与圆：的位置关系是

A.内切   B.外切   C.相交   D.外离

5.在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为

A.   B.   C.   D.

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P在侧视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则P在正视图中对应的点为

A.A   B.B   C.C   D.D

7.平行于直线：，且与的距离为的直线的方程为

A.

B.或

C.

D.或

8.过点的圆C与直线相切于点，则圆C的标准方程为

A.   B.

C.   D.

9.已知两点，，直线过点且与线段AB有交点，则直线的倾斜角的取值范围是

A.    B.

C.  D.

10.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为

A.  B.  C.  D.

11.比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而闻名世界.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，OA的方向即为A点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬44°，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜。且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则其中轴线与赤道所在平面所成的角为

A.40°   B.42°   C.48°   D.50°

12.函数在区间上可找到个不同的数，使得，则的最大值为

A.20   B.21   C.22   D.23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________.

14.从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为_____________.

15.点到直线：的距离的最大值为_____________.

16.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为_____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在数列中，，.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（12分）

如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

19.（12分）

已知函数，.

（1）求函数的最大值；

（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求a，b的值.

20.（12分）

已知直线过点，圆：.

（1）证明：直线与圆相交；

（2）求直线被圆截得的弦长的取值范围.

21.（12分）

如图，在长方形中，，，M为DC的中点.将沿AM折起得到四棱锥，且.

（1）证明：；

（2）若E是线段DB上的动点，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：2，求的值.

22.（12分）

已知圆C经过两点，，且圆心在x轴上.

（1）求圆C的方程;

（2）过原点O的动直线与圆C交于A，B两点，则轴上是否存在定点，使得当变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.D解析：∵，∴.

2.D解析：依题意，若，则可能，∴A错误；若，则与可能相交、异面、平行，∴B错误；若，则可能，，与相交，∴C错误；由于，∴平面内存在直线，满足，若，则，则，∴D正确.

3.B解析：易知是偶函数，且当时，，当时，，故选B.

4.B 解析：由题意知圆的圆心，半径，圆的方程可化为，其圆心，半径.∵两圆的圆心距，∴两圆外切.

5.A 解析：连接，即为异面直线与所成角，设，则，，.

6.A解析：根据三视图可知该几何体的直观图如图所示，由图可知P在正视图中对应的点为A.

7.B 解析：由题意设直线的方程为，则，解得或7，故选 B.

8.B 解析：圆心在过点且与垂直的直线上，又在的中垂线上，∴圆心，半径，∴方程为.

9.C解析：如图，直线的斜率，直线的斜率.由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，因此直线的倾斜角的取值范围是.

10.C解析：设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.

11.A解析：如图，为比萨斜塔的中轴线，，，则，即其中轴线与赤道所在平面所成的角为40°.

12.C解析：设，则条件等价为的根的个数，作出函数和的图象，由图象可知当时，与函数的图象最多有22个交点，即的最大值为22.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.4  14.  15.  16.

13.4解析：作出可行域可得当直线过点时，取得最大值4.

14.解析：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为，共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，则，则A包含的样本点个数为7，∴.

15.解析：直线：经过定点，当时，点到直线：的距离最大，最大值为.

16. 解析：设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，∴圆柱的高为，∴圆柱的体积为，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径，∴圆柱的外接球体积为，故.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.解析：（1）∵，

∴数列是首项为，公比为2的等比数列，

∴，即.

（2）由（1）知

.

18.解析：（1）连接交于点N，则N为中点，连接MN，

∵M为AB中点，∴，

∵平面，平面，∴平面.

（2）由已知易得，

设点到平面的距离为，由得

，解得.

19.解析：（1）由题意知，

∵，∴，∴函数的最大值为2.

（2）由题意得，即，

∵，∴，∴，∴，即，

由及正弦定理得，由余弦定理得，即，

联立解得，.

20.解析：（1）由已知可得圆心，半径，

∴，∴ P点在圆C内部，∴直线与圆 C 相交.

（2）设圆心 C 到直线的距离为 d，弦长为 L，则，

∵，即，∴，即直线被圆 C 截得的弦长的取值范围是.

21.解析：（1）∵，，，满足，∴，

∵，，∴平面BDM，

∵平面BDM，∴.

（2）易得，由（1）得，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

取AM中点N，连接DN，

∵，∴，∴平面，

∴，

设，则E到平面ADM的距离为，

∴，

∵，∴，解得，

∴当时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1:2.

22.解析：（1）圆心C在PQ的中垂线上，又在x轴上，∴，半径，

∴圆C的方程为.

（2）当斜率存在时，设的方程为，代入整理得，

设，，则，

MA，MB的斜率之和为，∴，

∴，∴，

当斜率不存在时，显然满足.

∴存在定点满足题意.