湘教版高中数学必修第一册第1章 章末综合提升课件+学案+章末综合测评含答案

章末综合测评(一)　集合与逻辑

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)等于(　　)

A．{1,6} B．{1,7} 

C．{6,7} D．{1,6,7}

C　[∵∁UA＝{1,6,7}，∴B∩(∁UA)＝{6,7}．故选C．]

2．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)

A．对任意x∈R，都有x2＜1 

B．不存在x∈R，使得x2＜1

C．存在x∈R，使得x2≥1

D．存在x∈R，使得x2＜1

D　[因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1．故选D．]

3．下列选项是“a>1”的必要条件的是(　　)

A．a<2 B．a>2 

C．a<0 D．a>0

D　[由题意，“选项”是“a>1”的必要条件，表示“a>1”推出“选项”，所以正确选项为D．]

4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　)

A．1 B．3 

C．4 D．6

C　[∵A＝{1,2}，由A∪B＝{0,1,2}可知B可能为{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}，共4个．]

5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－2 B．2 

C．4 D．2或4

A　[∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2，

∴a＝－2或a＝2或a＝4.

又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2.]

6．下列命题中，真命题是(　　)

A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1

B．∀x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．∃x∈R，x2＋2≤0

A　[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A．]

7．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是(　　)

A．a<0 B．a>0  

C．a<－1 D．a>1

C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C．]

8．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是(　　)

A．1 B．2 

C．3 D．4

A　[根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．

又∵A⊆∁RB，∴2m≤2.

解得m≤1，故m的值可以是1．]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)

A．∅⊆A B．－2∈A

C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}

ACD　[∵A＝{0,2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0,2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．]

10．下列特称命题中，是真命题的是(　　)

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．∃x∈R，|x|<0

D．有些自然数是偶数

ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．]

11．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x|－2≤x≤2}，则下列关系式正确的是(　　)

A．A∩B＝∅

B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}

C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x>2}

D．A∩∁RB＝{x|2<x≤3}

BD　[∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，

∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A错误；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪∁RB＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，故C错误；A∩∁RB＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．故选BD．]

12．记全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　)

A．A∪B＝A B．A∩B＝A

C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U

ACD　[B⊆A，用Venn图表示：

等价的只有ACD．故选ACD．]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________.

{x|x≤1}　[∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．]

14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．

{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]

15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

充分而不必要　[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件．]

16．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B＝________，其所有元素之和为________．(本题第一空3分，第二空2分)

{0,6,12}　18　[当x＝0时，y＝2,3，对应的z＝0；

当x＝1时，y＝2,3，对应的z＝6,12.

即A⊙B＝{0,6,12}．

故集合A⊙B的所有元素之和为18.]

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；

(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.

[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；

又由于“任意”的否定为“存在一个”，

因此，¬p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，

即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；

又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，

因此，¬p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．

(1)若a＝1，求A∪B；

(2)在①∁RA⊆∁RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．(注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

[解]　(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．

(2)三个条件∁RA⊆∁RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B⊆A，所以 ，解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

19．(本小题满分12分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．

(1)若集合A＝{－1,1}，直接写出集合A＋及A－；

(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3.

[解]　(1)根据题意，由A＝{－1,1}，则A＋＝{－2,0,2}，A－＝{0,2}．

(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，

所以A－中也只包含四个元素，

即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，

剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，

所以x1＋x4＝x2＋x3.

20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

(1)当m＝－1时，求A∪B；

(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．

[解]　(1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x＜3}．

(2)由A⊆B，知解得m≤－2，

即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．

21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

[解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B．∴

解得a的取值范围为≤a≤2.

(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，∴a＞0.

若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.

22．(本小题满分12分)已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.

[证明]　因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c.

先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.

再证充分性：因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，

所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，

y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1．

即充分性成立．

所以，对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.