高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.5 三角函数模型的简单应用集体备课课件ppt

5.5　三角函数模型的简单应用

类型1　匀速圆周运动的数学模型

【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．

[解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt，

根据三角函数的定义，得P点纵坐标

y＝|OP|sin∠POx＝20sin，

即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sin，

∵函数的周期T为＝π，

∴由T＝，可得ω＝2，

∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．

匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.

1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)

A．y＝sin　　 B．y＝sin

C．y＝sin D．y＝sin

C　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝.解得φ＝.故选C．]

类型2　三角函数模型的实际应用

【例2】　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．

(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？

[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．

(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.

解三角函数应用问题的基本步骤

提醒：关注实际意义求准定义域．

2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.

(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？

[解]　(1)由题意知

解得

易知＝14－2，

所以T＝24，所以ω＝，

易知8sin＋6＝－2，

即sin＝－1，

故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<π，

得φ＝－，

所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．

(2)当x＝9时，y＝8sin＋6

＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.

所以届时学校后勤应该开空调．

类型3　数据拟合模型的应用

【例3】　下表所示的是某地2001～2020年的月平均气温(华氏度)．

以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．

(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)这个函数的周期是多少？

(3)估计这个正弦曲线的振幅A；

(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin .

[解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．

(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，∴T＝12.

(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，

∴A＝25.8.

(4)∵x＝月份－1，

∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，

代入①，得＝>1≠cos ，

∴①不适合．

代入②，得＝<0≠cos ，

∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合．

处理数据拟合和预测问题的步骤

(1)根据原始数据，绘出散点图．

(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．

y＝－4cos t　[设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.]

1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)

A．y＝sin B．y＝sin

C．y＝sin D．y＝sin

D　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.

∴y＝sin，故选D．]

2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5　 B．6　　　　

C．8　　　　 D．10

C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C．]

3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则(　　)

A．ω＝，A＝4 B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝4

A　[由题意可得T＝＝，可得ω＝，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4.]

4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.

　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]

5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________．

y＝－6sinx，x∈[0,24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.

当x＝9时，ymax＝6.

故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.

取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0,24]．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？

[提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．

2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？

[提示]　→→