高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系教课内容ppt课件

2.1.3　基本不等式的应用

知识点　用基本不等式求最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

x＋的最小值是2吗？

[提示]　不一定．如当x<0时，x＋<0.

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．

1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________．

4　[∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4.

当且仅当x＝时等号成立．]

2.已知0<x<1，则函数y＝x(1－x)的最大值为________．

　[∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)≤＝，

当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．]

类型1　利用基本不等式求最值

【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值．

[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，

∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，

故当x＝1时，y最大值＝1．

(2)∵0<x<，∴1－2x>0，

∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝.

∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝.

利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第3章3.2函数的基本性质求解.

1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；

(2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值．

[解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，

当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．

故y＝(x>0)的最小值为9.

(2)法一：∵0<x<，

∴1－3x>0.

∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)

≤＝.

当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．

∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.

法二：∵0<x<，∴－x>0.

∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，

当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．

∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.

类型2　利用基本不等式求条件最值

【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．

[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋

≥10＋2＝18，

当且仅当

即时，等号成立，

故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)最小值＝18.

常数代换法求最值

常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．

[解]　法一：＋＝·1

＝·(a＋2b)

＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2

＝3＋2，

当且仅当即时等号成立．

∴＋的最小值为3＋2.

法二：＋＝＋＝1＋＋＋2

＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当即时，等号成立，

∴＋的最小值为3＋2.

类型3　利用基本不等式解决实际问题

【例3】　(对接教材P40例题)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18.由此思考每间虎笼面积xy最值的求法.

[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，

则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

法一：由于2x＋3y≥2＝2，

所以2≤18，得xy≤，

即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.

∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．

∵0<y<6，∴6－y>0.

∴S≤＝.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

应用基本不等式解决实际问题的思路与方法

(1)理解题意，设出变量．

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．

(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．

(4)根据实际背景写出答案．

3.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

[解]　设隔墙的长度为x(x>0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，

四周围墙造价为×400＝800×元．

因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000＝1 296x＋＋16 000

≥2＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.

当1 296x＝，即x＝时，等号成立．

这时，污水池的长为18 m.

故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．

1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)

A．1 B．2 

C．4 D．8

B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]

2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)

A．1 B．2 

C．2 D．4

A　[由基本不等式得，ab≤＝1．

当且仅当即a＝b＝1时，等号成立．

∴ab的最大值为1．]

3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)

A． B．4 

C． D．5

C　[∵a＋b＝2，∴＝1．

∴＋＝＝＋≥＋2＝，

当且仅当即时，等号成立．

故y＝＋的最小值为.]

4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

5　8　[由题意可知，平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8.

当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？

[提示]　一正、二定、三相等．

2．应用基本不等式求最值的依据是什么？

[提示]　a＋b≥2和ab≤，即“和定积最大，积定和最小”．

3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？

[提示]　直接法、配凑法、常数代换法等．