数学必修 第一册2.1 相等关系与不等关系集体备课ppt课件

微专题强化练(一)　基本不等式的应用技巧

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知a<b，则＋b－a的最小值为(　　)

A．3 B．2 

C．4 D．1

A　[因为a<b，所以b－a>0，由基本不等式可得＋b－a＝1＋＋(b－a)≥1＋2＝3，当且仅当＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，＋b－a的最小值为3，故选A．]

2．若实数x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)

A．7 B．8 

C．9 D．10

C　[根据题意，实数x>0，y>0，若x＋4y＝xy，则＋＝1, x＋y＝(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝2y时等号成立，

即x＋y的最小值为9，故选C．]

3．函数y＝(x>0)的最小值是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

D　[由题意知，y＝＝＝x＋1＋＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”，故y的最小值是5.]

4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9 B．12

C．16 D．10

C　[因为a>0，b>0，所以a＋4b>0，

所以不等式＋≥恒成立，

即可转化为(a＋4b)≥m恒成立，

即最小值≥m，因为(a＋4b)＝8＋＋≥8＋2＝16，

当且仅当a＝4b时，等号成立．所以16≥m，即m的最大值为16.]

5．(多选题)下列各选项中，最大值是的是(　　)

A．y＝x2＋ B．y＝x，x∈[0,1]

C．y＝ D．y＝x＋

BC　[对于A，y＝x2＋≥2＝，无最大值．

对于B，y2＝x2(1－x2)≤＝，y≥0，∴y≤ ，x∈当且仅当x＝时取等号．

对于C，x＝0时，y＝0.x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号．

对于D，y＝x＋2＋－2≥2－2＝2，x>－2，当且仅当x＝0时取等号．]

二、填空题

6．已知x>－1，则3x＋的最小值是________．

3　[因为x>－1，所以x＋1>0，

所以3x＋＝3＋－3≥2－3＝3(当且仅当x＝0时，等号成立)．]

7．已知a，b都是正数，满足2a＋b＝3，则的最小值为__________.

3　[∵a，b都是正数，满足2a＋b＝3，

则＝＋＝(2a＋b)＝≥(5＋4)＝3，当且仅当＝且2a＋b＝3，即a＝b＝1时，取得最小值3.]

8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

a≥　[因为x>0，所以x＋≥2.

当且仅当x＝1时取等号，所以有

＝≤＝，

即的最大值为，故a≥.]

三、解答题

9．已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值．

[解]　因为a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，所以8＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝＋＋2≥2＋2＝4，

所以＋≥，

当且仅当a＋1＝b＋3时，等号成立，

所以＋的最小值为.

10．若a，b为大于1的实数，且满足a＋b＝ab，求＋的最小值．

[解]　若a，b为大于1的实数，且满足a＋b＝ab，

所以(a－1)(b－1)＝1，即＝b－1，

故＋＝4(b－1)＋(a－1)＝4b＋a－5，

同时a，b为大于1的实数，且满足a＋b＝ab，整理得＋＝1．所以4b＋a＝(4b＋a)＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋4＝9(当且仅当a＝2b时，等号成立)．

故＋的最小值为9－5＝4.