湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数课文内容ppt课件

课后素养落实(二十九)　指数函数的性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　)

A．c>a>b　　　　　 B．b>a>c

C．a>b>c D．a>c>b

D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]

2．若<，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞) B．

C．(－∞，1) D．

B　[∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]

3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A． B．

C．∪(1，＋∞) D．

A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A．]

4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

A　[因为f(x)＝3x－，定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．

又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数．]

5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)

A．6　 B．1

C．3　　　　 D．

C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，y最大值＝3.]

二、填空题

6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]

7．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是_____________．

(－1,0)∪(0,1)　[由x<0，得0<2x<1；由x>0，

∴－x<0,0<2－x<1，

∴－1<－2－x<0.

∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．]

8．函数f(x)＝的单调递增区间为________．

[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.

(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；

(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．

[解]　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．

(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，

即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．

10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．

(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；

(2)求f(x)的最大值与最小值．

[解]　(1)设t＝3x，∵x∈[－1,2]，函数t＝3x在[－1,2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为.

(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，

故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.

1．(多选题)若f(x)＝3x＋1，则(　　)

A．f(x)在[－1,1]上单调递增

B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象过点(0,1)

D．f(x)的值域为[1，＋∞)

AB　[f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选AB．]

2．(多选题)关于函数f(x)＝的说法中，正确的是(　　)

A．偶函数

B．奇函数

C．在(0，＋∞)上是增函数

D．在(0，＋∞)上是减函数

BC　[∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

又y＝πx在(0，＋∞)上单调递增，y＝π－x在(0，＋∞)上单调递减，

∴y＝πx－π－x在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选BC．]

3．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．

　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立，

即a≥－－在(－∞，1]上恒成立．

又y＝－－＝－－在(－∞，1]上的最大值为－，∴a≥－.]

4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．

　[∵a2＋a＋2＝＋>1，

∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，

∴x>1－x，即x>.]

已知函数f(x)＝a－(x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；

(2)是否存在实数a使f(x)为奇函数？证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．

[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.

∵x1<x2，

∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．

(2)存在．若f(x)在x∈R上为奇函数，

则f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.

(3)由(2)知，f(x)＝－，由(1)知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．

∵f(1)＝－＝，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.