湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质评课ppt课件

课后素养落实(四十五)　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)

A．y＝sin　　　　  B．y＝cos

C．y＝cos x D．y＝cos 2x

D　[A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]

2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

A　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　D

B　[由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B．]

3．函数f(x)＝sin的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于(　　)

A．5　 B．10　　　　

C．15　　　　 D．20

B　[由已知得＝，又ω＞0，

所以＝，ω＝10.]

4．函数y＝|cos x|－1的最小正周期为(　　)

A． B．π

C．2π D．4π

B　[因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象(略)知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π.]

5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f ＝1，则f 的值为(　　)

A．1 B．－1

C．0 D．2

B　[由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，

所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－1．]

二、填空题

6．函数f(x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称．(填“原点”或“y轴”)

y轴　[函数的定义域为R，f(－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f(x)，

故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．]

7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．

6　[T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π，

∴ω的最大值是6.]

8．若f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝cos x－sin x，当x＜0时，f(x)的解析式为________．

f(x)＝－cos x－sin x　[x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x，

因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，

即x＜0时，f(x)＝－cos x－sin x．]

三、解答题

9．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝－2cos 3x；

(2)f(x)＝xsin(x＋π)．

[解]　(1)f(－x)＝－2cos 3(－x)

＝－2cos 3x＝f(x)，x∈R，

所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．

(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，

所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝f(x)，

故函数f(x)为偶函数．

10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.

(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

[解]　(1)y＝sin x＋|sin x|

＝图象如下：

(2)由图象知该函数是周期函数，最小正周期是2π.

1．(多选题)若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是(　　)

A．－ B．

C．π D．

ABD　[由题意可知函数y＝sin(2x＋φ)是偶函数，故φ＝＋kπ，k∈Z，故选ABD．]

2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝(　　)

A． B．－

C．0 D．

A　[∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝336＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＋f(336×6＋3)＋f(336×6＋4)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋sinπ＋sinπ＋sin＝.]

3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是__________．

∪(0,1)∪　[∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0,1)∪.]

4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则函数f(x)的周期T＝________，若f(1)＝2，则f(99)＝________.

4　　[因为f(x)·f(x＋2)＝13，

所以f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.]

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.

(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；

(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求当f(x)≥时x的取值范围．

[解]　(1)∵f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

∵当x∈时，f(x)＝sin x，

∴当x∈时，

f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.

又当x∈时，x＋π∈，

f(x)的周期为π，

∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.

∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.

(2)如图．

(3)∵在[0，π]内，

当f(x)＝时，x＝或，

∴在[0，π]内，

f(x)≥时，x∈.

又f(x)的周期为π，

∴当f(x)≥时，

x∈，k∈Z.