数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质教课ppt课件

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5.3.2　正切函数的图象与性质学 习 任 务核 心 素 养1．能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．掌握正切函数的定义域．(易错点)1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质．(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图象是连续的吗？知识点　正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域 值域R周期π奇偶性奇函数对称中心，k∈Z单调性在每一个区间，k∈Z上都单调递增正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？[提示]　不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的．但在整个定义域上不是单调递增的．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　)(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (　　)(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z. (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2.函数y＝tan 2x的定义域为________，周期为________．　　[由2x≠＋kπ可知x≠＋，k∈Z，T＝.] 类型1　正切函数的奇偶性与周期性【例1】　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)A． B．　　　C．π　　　 D．2π(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数(1)A　(2)A　[(1)T＝＝，故选A．(2)由题意可知，自变量x的取值范围为.又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故选A．]1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法(1)定义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．1．(1)函数f(x)＝(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数(2)若函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.(1)A　(2)±2　[(1)由题意可知，∴x≠＋kπ，且x≠π＋2kπ，k∈Z.又f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故选A．(2)由＝可知ω＝±2.] 类型2　正切函数的单调性【例2】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．(2)求函数y＝3tan的单调区间．1当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？2求y＝Atanωx＋φAω≠0的单调区间时应注意哪些问题？(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，又＜2＜3＜4＜π＋1＜，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1．](2)[解]　y＝3tan＝－3tan，由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，－＋＜x＜＋，k∈Z，所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．2．(1)求函数y＝tan的单调递增区间．(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小．①tan 220°与tan 200°；②tan π与tan.[解]　(1)由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的单调递增区间是，k∈Z.(2)①tan 220°＝tan 40°，tan 200°＝tan 20°，因为y＝tan x在上单调递增，所以tan 220°>tan 200°.②tan π＝tan(π＋)＝tan ，tan＝tan＝tan ，因为－<<<，y＝tan x在上单调递增，所以tan <tan ，即tan π>tan. 类型3　正切函数图象与性质的综合应用【例3】　设函数f(x)＝tan.(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．[解]　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域是.因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.解形如tan x＞a的不等式的步骤3．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．[解]　由y＝|tan x|得y＝其图象如图：由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．函数y＝|tan x|的周期T＝π，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.1．函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数D　[f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.]2．若tan x≥1，则(　　)A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)D　[因为tan x≥1＝tan.所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.]3．比较大小：tan ________tan .<　[因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<，y＝tan x在内单调递增，所以tan <tan ，即tan <tan .]4．函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan x，在上为减函数，所以值域为(－，1)．]5．已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．，k∈Z　[由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]回顾本节知识，自我完成以下问题：你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？[提示]　性质正切函数正弦函数、余弦函数定义域R值域R[－1,1]最值无最大值为1最小值为－1单调性仅有单调递增区间，不存在单调递减区间单调递增区间、单调递减区间均存在奇偶性奇函数正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数周期性T＝πT＝2π对称性有无数个对称中心，不存在对称轴对称中心和对称轴均有无数个