2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.

【详解】因为对应的点为，所对应的点关于虚轴对称，

所以对应的点为，所以.

故选：B.

2．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（       ）．

A．6 B．8 C． D．

【答案】C

【分析】由斜二测画法得出原图，计算边长求出周长即可.

【详解】

由斜二测画法得在原图中，，，，

所以．故的周长为．

故选：C.

3．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（       ）

A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4

【答案】D

【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.

【详解】如图所示：

因为AC=b=2，若三角形有两个解，

则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，

当时，圆与BA相切，不合题意；

当时，圆与BA交于B点，不合题意；

所以，且，

所以由正弦定理得：

，则，

解得，

故选：D

4．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个36人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ）

A．10人 B．12人 C．14人 D．16人

【答案】C

【分析】根据分层抽样的计算公式即可求解．

【详解】根据分层抽样的特点，应抽取高三人．

故选：C．

5．已知向量，满足，，且与反向，则（       ）

A．36 B．48 C．57 D．64

【答案】A

【解析】根据与反向，得到，然后利用平面向量的数量积运算求解.

【详解】因为与反向，

所以，

又，，，

所以，

.

故选：A

6．△的三个内角，，所对的边分别为，，，且a=1，B=45°，其面积为2，则△的外接圆的直径为（       ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径.

【详解】∵，

∴，又，

∴，可得.

设△的外接圆半径为，则，

∴.

故选：B.

7．某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案.

【详解】设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为，

所以侧面面积，解得，

所以圆锥的高，

所以圆锥的体积.

故选：C

8．从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法：

（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），

（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），

选到一男一女的选法有4种，分别为：

（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），

则选到一男一女的概率为.

故选：.

9．已知四面体的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论正确的个数为（       ）

①四面体的棱长均为2

②四面体的体积等于

③异面直线与所成角为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由题意可知，四面体为正四面体，作图，根据勾股定理，写出棱长与外接圆半径之间的等量关系，解得棱长，根据体积公式，可得体积，建系，利用空间向量的夹角公式，求得夹角余弦值，可得答案.

【详解】根据题意，作图如下：

则点为正四面体的外接球的球心，则，

则外接球的体积，解得，

对于①，设四面体的棱长为，

在等边中，，，

在中，，则，

在中，，则，

即，解得：，即，

解得，故正确；

对于②，四面体的体积

，故正确；

对于③，以点为原点，分别以所在直线为轴，以平行于过的直线为轴，如图建立空间直角坐标系：

则，，，，

可得，

设异面直线与所成角为，则，

即，故错误；

故选：C.

10．已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则的取值范围是（       ）

A．[2，6] B．[2，4] C．(2，4) D．(0，4)

【答案】B

【解析】利用向量数量积的几何意义，即可得答案；

【详解】如图所示，为的中点，，

当在时，在方向上的投影最大，

，

当在时，在方向上的投影最小，

，

的取值范围是[2，4]，

故答案为：B.

【点睛】本题考查利用向量数量积的几何意义求范围问题，考查数形结合思想，属于基础题.

11．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.

【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，

作图如下：

在正方体中，易知，，，

则共面，平面，平面，

平面，同理可得：平面，

，平面平面，

当平面时，平面，

正方体的棱长为，

在中，，解得，同理，

在中，，解得，

则中边上的高，

即，

故选：D.

12．在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（       ）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．

【详解】设，，

由于，

在和中应用余弦定理可得：

，整理可得：，

结合勾股定理可得的面积：

，

当且仅当时等号成立．

则面积的最大值为6．

故选：A.

二、填空题

13．已知平面向量，满足，，，则，的夹角为________.

【答案】

【解析】由向量数量积运算律展开化简，再根据向量，的模，结合平面向量数量积的定义，即可求得，夹角的余弦值，进而求得，的夹角.

【详解】由得，

设，的夹角为，因为，，

由平面向量数量积的定义可得

，

则，又因为，所以.

故答案为：.

14．已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于______.

【答案】8

【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解.

【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，

乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，

根据题意可得，解得．

故答案为：8.

15．设的内角所对的边为，则下列命题正确的有______.

①若，则

②若，则

③若，则       

④若，则

【答案】②③④

【分析】由余弦定理结合余弦函数的性质即可判断①④；由基本不等式结合余弦定理即可判断②③.

【详解】对于①，若，则，，又，则，①错误；

对于②，若，则，当且仅当时取等号，则，又，则，②正确；

对于③，由可得，又，则，

则，又，当且仅当时取等，则，则，又，则，③正确；

对于④，若，则，，则，又，则，④正确.

故答案为：②③④.

16．已知正三棱锥侧棱长为，且，底面边长为2，则外接球表面积的最小值为___________.

【答案】

【分析】设在面上的射影为，则为正的中心，求出，外接球球心落在或它的延长线上，设外接球的半径为，利用勾股定理得到，再利用基本不等式求出的最小值，最后根据球的表面积公式计算可得.

【详解】解：设在面上的射影为，为的中点，则为正的中心，所以，，

考虑，则外接球球心落在或它的延长线上，如图所示：

设外接球的半径为，无论哪种情形，均有，

即，

当且仅当即时等号成立，所以外接球表面积最小值为

故答案为：

三、解答题

17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示

(1)求样本中第3组人数；

(2)根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；

(3)若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率.

【答案】(1)7

(2)41.5

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中的条形面积和为1计算可得，再根据第3组人数所占的比例与总人数求解即可；

（2）以每组数据的中点作为该组值求解平均数即可；

（3）先求得年龄在的人数，再根据古典概型的方法求解即可.

【详解】(1)由频率分布图进行数据分析可得：

，解得：.

所以样本中第3组人数为：.

(2)由频率分布图进行数据分析可得，样本数据的平均数为：

；

(3)记事件A：至少有一人的年龄在内

年龄在的有2人，设为a､b；年龄在的有3人，设为1､2､3；

从5人中任选2人，有：ab､a1､a2､a3､b1､b2､b3､12､13､23共10种情况.

至少有一人的年龄在内包括：ab､a1､a2､a3､b1､b2､b3共7种情况.

故所求概率为.

18．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由余弦定理先求，从而可得角；

（Ⅱ）用正弦定理将化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得的取值范围.

【详解】（Ⅰ），

（Ⅱ），，

由正弦定理，，

，，

，

；

又，故，，

.

19．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为；

(2)取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则,所以的中点，

则，,

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.

20．甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确的概率为，乙解答正确的概率为，丙解答正确的概率为0.7，甲、乙二人中至少有一人解答正确的概率为0.88.

(1)若，求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率；

(2)若，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件与对立事件的概率公式得到方程，即可求出，再求出甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率；

（2）由（1）知且，即可求出、，再根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.

【详解】(1)解：设 为“甲解答正确”，为“乙解答正确”，为“丙解答正确”,且 、、相互独立，

“甲、乙二人都解答正确”为事件“”， “甲、乙二人都解答错误”为事件“” ，

所以，

即，解得，

所以甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率.

(2)解：由（1）知且，解得，

即、，又，

设甲、乙、丙三人中恰有两人解答正确为事件，

则.

21．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理对进行边角互化，进而得到A的大小.

（2）利用余弦定理得到三边满足的关系式，再利用基本不等式得到，进而得到面积最大值.

【详解】(1)在中，，

由题意及正弦定理得，

∴，

∴，

∴，

又∵，∴，

又∵，∴.

(2)∵，，

∴由余弦定理得，

即，化简，

故（当且仅当时取“=”号），

∴.

∴面积的最大值为.

22．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．

(1)当时，求点的位置；

(2)在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)点为的中点

(2)

【分析】（1）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出，，则，即可求出，从而确定点的位置；．

（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面所成二面角的余弦值即可．

【详解】(1)解： ，，，

，

，， ，又，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，

所以以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，

设．

则，

，，解得，．

当时，点为的中点．

(2)解：由（1）可得，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

易知平面的一个法向量为，

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．