2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二上学期开学摸底考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市德强学校高二上学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得，

【详解】，所以.

，所以，

所以.

故选：D

2．下列函数是奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合奇偶函数的定义逐一判断选项即可.

【详解】A：由奇偶函数的定义域关于原点对称知，A错误；

B：函数，得，故B错误；

C：函数，得，故C正确；

D：函数，得，故D错误.

故选：C

3．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（     ）

A．若，，，则 B．若，，，，则

C．若，，，则 D．若，，，，则

【答案】B

【分析】对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的的判定定理可判断.

【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘

对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确；

对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；

对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，

故选:B

4．在平行四边形中，，分别为，的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的加法法则运算可得解.

【详解】由题意可得，，

则.

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.

5．若，则的值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的关系对化简变形，用表示，从而可求出的值，再利用两角和的正切公式化简计算，然后将所求的值代入计算即可.

【详解】因为，

所以，

，

所以．

故选：D．

6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】利用余弦定理及完全平方公式计算可得.

【详解】解：由余弦定理可得，

又因为，

所以.

因为，

所以.

故选：B

7．在中，是线段上一点（不与顶点重合），若，则的最小值为（     ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据三点共线得，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】因为是线段上一点（不与顶点重合），若，

所以且，

所以，当且仅当，即，时等号成立，

故选：B．

8．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（       ）

A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

【答案】C

【分析】直接设点P，根据可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或．

【详解】设点P

∵即

整理得：

∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，

∵圆的为圆心，半径的圆

由题意可得：或

∴或

故选：C．

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（       ）

A．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度

B．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变

C．一个样本的方差，则这组数据总和等于60

D．数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为

【答案】ABC

【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.

【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A正确，

根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B正确；

由一个样本的方差，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C正确；

数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，故D错误.

故选：ABC．

10．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（       ）

A．直线过定点

B．圆的圆心坐标为

C．直线与圆的相交弦的最小值为

D．直线与圆的相交弦的最大值为4

【答案】ACD

【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A，直线，即，

令，得，即直线过定点，故A正确；

对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误；

对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为，

当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直，

又因为，所以相交弦的最小为，故C正确；

对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确.

故选：ACD

11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，则

B．若是边长为1的正三角形，则

C．若，，，则有一解

D．若O是所在平面内的一点，且，则是直角三角形

【答案】AD

【分析】A由正弦定理边角关系判断；B向量数量积的定义求；C利用正弦定理解三角形求角C判断；D由已知可得，由其几何意义可知边上的中线长等于的一半，即可判断.

【详解】A：由，又，即，故，正确；

B：由已知，错误；

C：由，则，而，故或，错误；

D：由、、，故，所以在中边上的中线长等于的一半，即是为直角的直角三角形，正确.

故选：AD

12．在三棱锥中，，，，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则（       ）

A．直线MN是线段AB和CD的垂直平分线

B．四边形MQNP为正方形

C．三棱锥的体积为

D．经过三棱锥各个顶点的球的表面积为

【答案】ACD

【分析】将三棱锥放置在长方体中，得分别是上下底面的中心，可判断A；求出过同一个顶点的三条棱长可得每一个面都为长方形，由三角形中位线定理可得，，与不垂直，可判断B；

由可判断C；由三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，求出可判断D.

【详解】

因为和全等，是AB的中点，

所以．

又因为是CD的中点，

所以MN垂直平分CD，

同理MN垂直平分AB，故A正确；

因为在三棱锥中，，，，

故可将三棱锥补成如图所示的长方体，且该长方体的棱长分别为，，．

因为M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，

所以，．

因为AC，BD所在侧面不是正方形，

所以AC与BD不垂直，

所以MQ与NQ不垂直，

所以四边形MQNP不是正方形，故B不正确；

又长方体的体积为，

所以三棱锥的体积为，故C正确；

经过三棱锥各顶点的球即为三棱锥的外接球，且该三棱锥和长方体有共同的外接球，

其表面积为，故D正确．

故选:ACD.

三、填空题

13．已知复数满足，则___________.

【答案】−1+ii-1

【分析】利用复数的运算进行化简即可．

【详解】，则，

故答案为：

14．我国在贵州省平塘县修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.截至2021年5月，该射电望远镜发现脉冲星逾370颗.脉冲星就是旋转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的，最小的自转周期小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某天文研究机构观测并统计了其中93颗脉冲星的自转周期，绘制了如图所示的频率分布直方图.在这93颗脉冲星中，自转周期在2秒至10秒的颗数大约为___________ 颗.

【答案】79

【分析】根据频率分布直方图计算出自转周期在2秒至10秒的频率后可求相应的颗数.

【详解】由频率分布直方图可知，自转周期在0秒至2秒的频率为，

自转周期在10秒至12秒的频率为0.025×2=0.05，

所以自转周期在2秒至10秒的频率为1-（0.1+0.05）=0.85，

所以自转周期在2秒至10秒的颗数大约为0.85×93=79.05≈79.

故答案为：79.

15．已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．

【答案】

【分析】设外接圆的圆心为，由正弦定理求出，从而可求出，要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，由球的体积可求出球的半径，从而可求出三棱锥的高，进而可求出体积

【详解】设外接圆的圆心为，

因为正三角形的外接圆半径为，即，

由正弦定理，得，

所以，

要使三棱锥的体积最大，则平面，且球心在线段上，

因为球的体积为，所以球的半径为．

在中，由勾股定理得，

所以三棱锥体积的最大值．

故答案为：

16．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】作出函数的图象如图，

令，则当，方程有个不同的实数解，

则方程化为，

使关于的方程恰好有六个不同的实数解，

则方程在内有两个不同的实数根，

令

所以,

解得:，

所以实数的取值范围为

故答案为

【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.

四、解答题

17．计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可;

(2)根据对数的运算性质计算即可.

【详解】(1)解：=====；

(2)解：==.

18．已知为的三内角，且其对边分别为，若.

(1)求；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求的值．

由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．

【详解】(1)，

,

又,

,

且，

.

(2)由余弦定理，

可得：

即

解得，

.

19．已知函数.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)当时，能成立，求的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后由正弦函数的单调性列出不等式，求解即可；

（2）由正弦函数的性质，求出的最小值，将不等式恒成立问题转化为，即可得到答案.

【详解】(1)

，

令，，

解得，，

所以的单调递减区间为，；

(2)因为，则，

所以，

故，

当时，能成立，即，

所以，

故的取值范围为.

20．已知圆．

(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．

【答案】(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0

(2)

【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；

（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．

【详解】(1)由题意得C（2，0），圆C的半径为3．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，

由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．

综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．

(2)由题意得圆心C到直线的距离，

设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，

点P到直线距离的最大值为，

则的面积的最大值．

21．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按元/千瓦时收费.

(1)求某户居民的用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：千瓦时）的函数解析式；

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中今年1月份用电费用小于260元的占，求的值；

(3)根据（2）中求得的数据计算用电量的分位数和平均数.

【答案】(1)

(2)

(3)电量的分位数为375千瓦时.平均数275千瓦时

【分析】（1）根据题目条件，列出函数解析式即可；

（2）将代入（1）中解析式得到的值，再结合频率分布直方图求的值；

（3）根据百分位数和平均数的定义，结合频率分布直方图中的数据，计算即可.

【详解】(1)当时，；

当时，；

当时，.

所以与之间的函数解析式为

(2)由（1）可知，当时，，即用电量小于400千瓦时的占，

结合频率分布直方图可知，

解得.

(3)设75%分位数为，

由题图知，用电量低于300千瓦时的频率为

，

用电量低于400千瓦时的频率为，

所以分位数在内，所以，解得，

即用电量的分位数为375千瓦时.

平均数= 千瓦时.

22．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为5时，证明：DB1⊥平面D2EF．

（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．

【答案】（1）见解析，（2）

【分析】（1）以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得，从而可证DB1⊥平面D2EF；

（2）设，则，所以，求出平面的法向量，而平面的一个法向量，设二面角的大小为，则先求出，从而可得，再由可得的范围.

【详解】（1）证明：作平面于，则在圆弧上，

因为，所以当取最小值时，最小，

由圆的对称性可知，的最小值为，

所以,

如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，

轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

,

因为，

所以,

因为平面，平面，,

所以DB1⊥平面D2EF，

（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,

设，因为，

设

所以，

，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

取平面的一个法向量，

设二面角的大小为，显然是钝角，

则，

，

则，

所以二面角的正切值的取值范围为，

【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.