2021-2022学年安徽省桐城市桐城中学高二下学期月考（4）数学试题含答案

安徽省桐城市桐城中学2021-2022学年高二下学期月考（4）数学试卷

1. 对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如表是一个列联表，则表中a，b处的值分别为(    )

A. 96，94 B. 60，52 C. 52，54 D. 50，52

3. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(    )

A. 假设a，b，c都是偶数 B. 假设a，b，c都不是偶数
C. 假设a，b，c至多有一个偶数 D. 假设a，b，c至多有两个偶数

5. 不透明的袋子中装有形状和大小完全相同的4个球，将球编号为1，2，3，4，从袋子中一次性，随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号的乘积为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 我国古代铜钱蕴含了“外圆内方”“天地合一”的思想．现有一铜钱如图，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知某公交车早晨5点开始运营，每15分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于5分钟的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程及方法．则的值为(    )

A.  B.  C. 7 D.

9. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 等比数列中，，函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数是自然对数的底数在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知x，y取值如表：

画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为，则m的值为______.

14. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为______.
15. 如图，在平面直角坐标系的格点横、纵坐标均为整数的点处：点处标，点处标，点处标，点处标，点处标，点处标，点处标，…，以此类推，则处的格点的坐标为______.

16. 已知函数，若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是______.
17. 近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：

根据上表数据，计算y与x的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱已知：，则认为y与x线性相关性很强：，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较弱
求出y关于x的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11”当天的交易额.
参考数据：，
参考公式：，，，，，

18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M、O、N分别是PD、AD、BC的中点．
    证明：平面平面MON；
    若，求点C到平面PAB的距离．

19. 已知函数
    若是的极值点，求在上的最小值和最大值．
    若在上是增函数，求实数a的取值范围．
20. 某学校为提升学生身体素质，准备在学校开展篮球体育活动，开展体育活动前从学校中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：

判断是否有的把握认为喜欢篮球与性别有关？
从不喜欢篮球的同学中采用分层抽样的方式从中抽取4名同学，从这4名同学中随机抽取2名同学，求恰有一位女生的概率．
附：

21. 设函数
    若函数在上为减函数，求实数a的最小值；
    若存在，使成立，求实数a的取值范围．
22. 已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
    求该抛物线的方程；
    过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
    

答案

1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】D 

6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】C 

11.【答案】B 12.【答案】B 13.【答案】 14.【答案】 

15.【答案】 16.【答案】 

17.【答案】解：由表格中的数据，可得，，
，
因为，
所以变量y与x的线性相关性很强．
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
令，可得，
故可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为亿元． 

18.【答案】证明：，M分别为DA，DP的中点，则，
且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，
，N分别为DA，CB的中点，则，
且平面PAB，平面PAB，则平面PAB，
且，平面MON，平面MON，
则平面平面MON，
解：由题意得：
连接PO，
AD在正中，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，

平面若，则，
，
平面平面ABCD，交线为AD，
且，又平面ABCD，
平面PAD，平面PAD，
，
设点C到平面PAB的距离为d，
由可得，，
 

19.【答案】解：由题意知的一个根为，可得，…分
所以的根为或 舍去，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
又，，，
在上的最小值是，最大值是…分
，要在上是增函数，则有在内恒成立，
即在内恒成立
又当且仅当时取等号，所以…分 

20.【答案】解：因为，
所以有的把握认为喜欢篮球与性别有关．
不喜欢篮球的同学中男女生比例为1：3，
所以按照分层抽样方式抽取的男生有1人，女生有3人，
抽取方式有：男1，女，男1，女，男1，女，女1，女，女1，女，女2，女，共6种，
其中恰有一个女生的有：男1，女，男1，女，男1，女，共3种，
所以恰有一个女生的概率为 

21.【答案】解：函数由已知得，
所以在上恒成立．
所以当时，
又，
故当，即时，
所以于是，故a的最小值为
命题“若存在，使成立”等价于
当时，有
由，当时，，
所以
问题等价于：“当时，有”．
①当时，由在上为减函数，
则，故
②当时，由于在上的值域为
，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，，矛盾．
，即，由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以，，
所以，，与矛盾．
综上得 

22.【答案】解：由椭圆，知
又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
所以，则所以抛物线的方程为
由抛物线方程知，焦点易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为
，消去y并整理，得
设，，则，对求导，得，
直线AP的斜率，
则直线AP的方程为，即同理得直线BP的方程为
设点，联立直线AP与BP的方程，即，
点P到直线AB的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立．
所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为