7.1-7.2为什么要证明定义与命题

一．选择题（共10小题）

1．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（　　）

A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定

【解析】解：由题意可得，

甲、乙、丙的说法都是错误的，

甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，

乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，

又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，

所以这本书的价格是14元，

故选：C．

2．下列语句中不是命题的是（　　）

A．作直线AB垂直于直线CD 

B．两直线平行，同位角相等 

C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 

D．同角的补角相等

【解析】解：A、没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；

B、是命题，不符合题意；

C、是命题，不符合题意；

D、是命题，不符合题意；

故选：A．

3．在下列命题中，假命题是（　　）

A．绝对值最小的实数是0 

B．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1 

C．已知a≥b，则ac2≥bc2 

D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等

【解析】解：A、绝对值最小的实数是0，是真命题；

B、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或±1，是真命题；

C、已知a≥b，则ac2≥bc2，是真命题；

D、有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；

故选：D．

4．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（　　）

A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子

【解析】解：∵1号杯左侧出口比右侧低，

∴水先从左边流出，进入3号杯，

∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，

∴水最终会先灌满3号杯，

故选：A．

5．下列说法正确的是（　　）

A．命题一定是正确的 

B．定理都是真命题 

C．不正确的判断就不是命题 

D．基本事实不一定是真命题

【解析】解：A．命题不一定是正确的，故本选项错误，不符合题意；

B．定理都是真命题，故本选项正确，符合题意；

C．不正确的判断是假命题，故本选项错误，不符合题意；

D．基本事实一定是真命题，故本选项错误，不符合题意，

故选：B．

6．对于命题“若a＜b，则a2＜b2”，小明想举一个反例说明它是假命题，则下列符合要求的反例是（　　）

A．a＝0，b＝1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝2

【解析】解：A、a＝0，b＝1，则a＜b，且a2＜b2，不符合题意；

B、a＝﹣2，b＝﹣1，则a＜b，a2＞b2，本选项符合题意；

C、a＝，b＝，则a＜b，且a2＜b2，不符合题意；

D、a＝1，b＝2，则a＜b，且a2＜b2，不符合题意；

故选：B．

7．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（　　）

A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2

【解析】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，

∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意，

故选：A．

8．下列命题中，是假命题的是（　　）

A．三个角对应相等的两个三角形全等 

B．﹣3a3b的系数是﹣3 

C．两点之间，线段最短 

D．若|a|＝|b|，则a＝±b

【解析】解：A、三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意；

B、﹣3a3b的系数是﹣3，是真命题，不符合题意；

C、两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；

D、若|a|＝|b|，则a＝±b，是真命题，不符合题意；

故选：A．

9．下列命题正确的是（　　）

A．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a＞b，则ac＞bc 

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b

【解析】解：A、若a＞b，则a﹣1＞b﹣1，原命题是假命题；

B、若a＞b，c＝0，则ac＝bc，原命题是假命题；

C、若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，原命题是假命题；

D、若ac2＞bc2，则a＞b，是真命题；

故选：D．

10．小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（　　）

A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英             

C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明

【解析】解：由题干中小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；

小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，

可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的；

又有小华的得分超过小明与小亮的得分和，

所以可得四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．

故选：C．

二．填空题（共12小题）

11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举一个反例，则n可以是　﹣2（答案不唯一）．　．

【解析】解：﹣2＜1，

（﹣2）2﹣1＞0，

∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，

故答案为：﹣2（答案不唯一）．

12．把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是　如果两个角是内错角，那么这两个角相等　；该命题是　假　命题（填“真”或“假”）．

【解析】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等，

该命题是假命题，

故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假．

13．命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是　∠1＝∠2，∠2＝∠3　，结论是　∠1＝∠3　，它是　真　命题．

【解析】解：“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是：∠1＝∠2，∠2＝∠3．结论是∠1＝∠3，是真命题．

故答案为：∠1＝∠2，∠2＝∠3；∠1＝∠3；真．

14．“倒数等于本身的数有±1，0”是　假　命题（填“真”或“假”）．

【解析】解：因为0没有倒数，所以“倒数等于本身的数有±1，0”是假命题．

故答案为假．

15．“锐角与钝角是互为补角”是　假　命题．（填写“真”或“假”）

【解析】解：30°的锐角和100°的钝角的和为130°，不是互为补角，

所以“锐角与钝角是互为补角”是假命题．

故答案为：假．

16．给出下列命题：①若a＞b，则a+5＞b+5；②若a＞b，则﹣5a＜﹣5b；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若a＞b，则a2＞b2；⑤若a＞b，则5﹣a＜5﹣b．其中是真命题的序号为　①②⑤　．（填写正确的序号即可）

【解析】解：①若a＞b，则a+5＞b+5；是真命题．

②若a＞b，则﹣5a＜﹣5b；是真命题．

③若a＞b，则ac2＞bc2；是假命题，c＝0时，不成立．

④若a＞b，则a2＞b2；是假命题，﹣1＞﹣3，但是（﹣1）2＜（﹣3）2．

⑤若a＞b，则5﹣a＜5﹣b．是真命题．

故答案为：①②⑤．

17．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为　甲、丙、乙、丁　．（按一、二、三、四的名次排序）

【解析】解：因为他们每人只猜对一半，

可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：

明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；

若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：

明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．

所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．

故答案为：甲、丙、乙、丁．

18．用一组a，b，c的值说明命题“若＜，则＜”是错误的，这组值可以是a＝　3　，b＝　2　，c＝　﹣1　．

【解析】解：当a＝3，b＝2，c＝﹣1时，＜，而﹣＞﹣，

∴若＜，则＜是错误的，

故答案为：3；2；﹣1．

19．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　1和3　．

【解析】解：∵丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，

∴丙拿的卡片上数字是1和2或1和3，

①当丙的卡片上的数字是1和2时，

∵乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，

∴乙的卡片上的数字是2和3，

∴甲的卡片上的数字是1和3，

与“甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2””，相符合，

②当丙的卡片上的数字是1和3时，

∵乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，∴乙的卡片上的数字是2和3，

∴甲卡片上的数字是1和2，

与“甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2””，相矛盾，

即：甲的卡片上的数字是1和3，

故答案为：1和3．

20．重庆一中秉持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竞赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的踊跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为　11　分．

【解析】解：因为每场比赛产生的最大分值是2分，这次比赛一共进行了45场比赛，因此产生的分值的最大值是90分．因为个人的最高得分是18分，又因为第一名选手与第二名选手均没有负一局，可以得出第一名选手与第二名选手是平一局，这个说明第一名选手最多17分，第二名选手最多16分，因此第一、二名选手的得分的和的最多33分．

情形1：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，假设第四名选手得分12分，最后四名选手的得分总和为12分，由90﹣33﹣12﹣12＝20可知，第5名为11分，第6名为9分．

情形2：当他们的总分是33分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分13分，假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为22分，两人中必有高于11分，与假设矛盾；

情形3：假设第一、二名选手的得分的和是32分时，因为第一、二名选手的得分的和比第三名选手的得分多20分，所以第三名选手的得分12分，假设第四名选手得分11分，最后四名选手的得分总和为11分，可知第5名与第6名的分数和为24分，结果推出矛盾，

故第1名17分，第2名16分，第3名13分，第4名12分，第5名11分，第6名9分；

故答案为11

21．为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是　1024　．

【解析】解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，

∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；

∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，

又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，

∴剩余的数字为4的倍数，

以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1

共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210＝1024．

故答案为：1024．

22．甲、乙、丙三人相约进行一场田径比赛，在赛前约定三人都必须参加相同项目的比赛并决出第一、二、三名（没有同名次），每项比赛第一、二、三名的得分依次记为5、2、1分，谁累计得分最多，谁就是优胜，比赛一开始，甲获得了铅球第一名，但谁也不甘示弱，三个人你追我赶，100米、跳高、……比赛在热烈的气氛中一项接着一项进行下去，最后，乙经过超强的努力获得了优胜，累计得分22分，而甲和丙都各得9分．下列四个结论：

①获得铅球第二名的是乙；

②甲获得第三名的次数与丙获得第二名的次数一样多；

③甲获得第一名1次，第二名1次，第三名2次；

④获得100米第二名的是甲．

其中正确结论的序号是　①②　．（填所有正确结论的序号）

【解析】解：根据题意可知：

三名选手获得总分为：9+9+22＝40分，

由每轮的总积分5+2+1＝8分，

所以共比赛：40÷8＝5项；

因为甲获得了铅球第一名，

所以余下四轮甲获得的积分为：

9﹣5＝4分，

根据积分规则可知，

其余四轮甲均为第三名（得1分），

所以④错误；

因为乙获得了优胜，累计得分22分可知：

其四轮为第一，一轮为第二，得分5×4+2＝22，

所以乙获得铅球第二名，

所以①正确；

综上所述，比赛中所得名次个数的情况为：

甲获得第一名1次，第三名4次；

乙获得第一名4次，第二名1次；

丙获得第二名4次，第三名1次．

所以②正确；③错误．

故答案为：①②．

三．解答题（共6小题）

23．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．

（1）若a＞b，则＜；

（2）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数；

（3）两个负数的差一定是负数．

【解析】解：（1）命题是假命题，

例如：a＝1，b＝﹣1，

则a＞b，而＞；

（2）命题是假命题，

例如：2是偶数，但2不是4的倍数；

（3）命题是假命题，

例如：﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，2是正数．

24．“a2＞a”是真命题还是假命题？请说明理由

【解析】解：“a2＞a”是假命题，

当a＝时，a2＝（）2＝，

而＜，

∴“a2＞a”是假命题．

25．下列各语句中，哪些是命题？是命题的，请你先将它改写为：“如果…那么…”的形式，再找出命题的条件和结论．

（1）画一个角等于已知角．

（2）互为相反数的两个数的和为0．

（3）当a＝b时，有a2＝b2．

（4）当a2＝b2时，有a＝b．

【解析】解：（1）画一个角等于已知角，不是命题；

（2）互为相反数的两个数的和为0，是命题，改写为如果两个数是互为相反数，那么这两个数的和为0，命题的条件是两个数是互为相反数，结论是这两个数的和为0；

（3）当a＝b时，有a2＝b2，是命题，改写为如果a＝b，那么a2＝b2，命题的条件是a＝b，结论是a2＝b2；

（4）当a2＝b2时，有a＝b，是命题，改写为如果a2＝b2，那么a＝b，命题的条件是a2＝b2，结论是a＝b．

26．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．

【解析】答：不正确．

解法一：（利用反例证明）例如：当n＝7时，n2﹣6n＝7＞0；

解法二：n2﹣6n＝n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0．

27．甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由．

【解析】解：乙是教师，

理由如下：∵甲和护士不同岁，护士比乙年龄小，

∴甲、乙都不是护士，

∴丙是护士，

∵护士比工人年龄大，护士比乙年龄小，

∴乙不是工人，

∴乙是教师．

28．从前有一个国王，他企图谋杀一个大臣．国王对这个大臣说：“我已经写好了两个阄，一个写有“杀’字，另一个写有‘赦’字．你从里面抓一个，抓到哪一个，我就按上面的方法处置你．”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但这位大臣动用逻辑的方法想出了一个好主意，从而免去了杀身之祸．你知道这位大臣想出的是什么主意吗？他这样做的依据是什么？

【解析】解：如果两个阄，一个写有“杀”字，另一个写有“赦”字，获得活的可能性为；

如果两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个都是死，获得活的可能性为0；

这位大臣从里面抓一个阄后吞进肚子里，让别人验看剩下的那个阄，剩下的是个“杀”字，则证明他吞下的是“赦”字，这样他就可以逃脱死亡的命运．