第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题-【暑假自学课】新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题

       【学习目标】

1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法

2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型

【基础知识】

知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：

1．定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

2．坐标法

第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步: 将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3．基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

4．几何意义法

第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹

第二步: 根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

知识点二．极化恒等式

1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

   （1）

   （2）

（1）（2）两式相加得：

2．极化恒等式：

上面两式相减，得：————极化恒等式

（1）平行四边形模式：

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。

（2）三角形模式：（M为BD的中点）

知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

   【考点剖析】

考点一：定义法

例1．若中，，其重心满足条件：，则取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

考点二：坐标法

例2．在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

考点三：基底法

例3．如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

考点四：几何意义法

例4．在中，，，，P为边上AC的动点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

考点五：极化恒等式

例5．已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ）

A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]

        【真题演练】

1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

3．已知是单位向量，.若向量满足（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在平面四边形ABCD中，

若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （   ）

A． B． C． D．

5．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

6．已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（     ）.

A． B． C． D．

7．已知向量满足，则的最小值是___________，最大值是______．

8．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．

9．已知是平面内的单位向量，若向量满足, 则的取值范围是___________.

10．如图，已知点O（0,0）,A（1,0）,B（0,−1）,P是曲线上一个动点，则的取值范围是______.

11．在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为_____________________.

12．已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是       ．

13．已知平面向量，，．若为平面单位向量，则的最大值是______．

       【过关检测】

1．在中，，若E为内一动点（含边界），则的最大值是（       ）

A．1 B．2 C． D．

2．已知点P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（       ）

A．最大值为6 B．为定值6 C．最小值为3 D．为定值3

3．已为向量､的夹角为，，向量且x，.则向量､夹角的余弦值的最大值为（       ）

A． B． C． D．

4．已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是（       ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

5．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（       ）

A． B． C． D．

6．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（       ）

A．3 B． C． D．2

7．已知单位向量，满足，若，并且，那么的最大值为（       ）

A．2 B． C． D．

8．在中，角、、所对的边分别为、、，，若，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．2

10．如图所示，点在以为圆心2为半径的圆弧上运动，且，则的最小值为（       ）

A． B． C．0 D．2

11．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形中，，，，，点P是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

13．如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（       ）

A． B． C． D．