北京市2022-2023学年高三上学期入学定位考试数学试题

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2022-2023学年北京市新高三入学定位考试数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）B （3）B （4）B （5） D（6）A （7）A （8）A （9）D （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）， （13） （14）， （15）①②③说明：第（12），（14）第一空3分，第二个空2分，第（15）题，选择一个正确的给3分，两个正确的给4分，三个正确的给5分，有错误选项的给零分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接. 在中，因为是，的中点， 所以 又平面，平面 所以平面. 6分（Ⅱ）在三棱柱中，因为侧面都是正方形 所以 又为直角，所以． 如图建立空间直角坐标系，则，，，设直线与平面所成的角为设平面的法向量为，因为所以 令， 所以 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 13分（17）（共13分）解：选条件①（Ⅰ）在中，因为，所以 因为，所以 因为 所以 由余弦定理 得， 8分（Ⅱ）由正弦定理 所以 因为，所以 所以 所以 13分 解：选条件② （Ⅰ）在中，因为，，所以 因为 所以 由余弦定理 得 所以 8分（Ⅱ）由正弦定理 所以 因为, 所以 所以，所以 所以 所以 所以 13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）设生产一件元件甲为正品为事件，则 生产一件元件乙为正品为事件, 则 6分（Ⅱ）（ⅰ）设生产5件元件乙所获利润不少于300为事件 所以 11分 （ⅱ） 14分（19）（共15分） 解：（Ⅰ）由, 得． 当时， 令，得 此时，随的变化如下： 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为 函数在时，取得极大值，在时，取得极小值. 8分（Ⅱ）因为不存在斜率为的切线, 所以 即方程无解，所以解得. 12分（Ⅲ） 15分（20）（共15分） 解：（Ⅰ）由题设，得． 又，所以． 所以 所以椭圆的方程为 5分（Ⅱ）依题意，设，. 设直线的方程为 所以直线的方程为 所以 得 所以 因为点恰好是与的中点，所以， 因为点在椭圆上，所以 解得， 当时，由，得 所以，所以 同理时， 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），包含 QUOTE 的单调片段有两个，为： QUOTE 和 4分 （Ⅱ）因为，所以 若，因为包含的“单调片段”长度的最大值为，则， 所以，故. 因为包含的“单调片段”长度的最大值为，所以，以此类推，可得到，于是.所以. 若，则同理可得：. 9分（Ⅲ）首先证明：存在，使得为单调数列. （*）假设结论（*）不成立，不妨设， 因为（*）不成立，所以存在，使得且. 若从开始，一直单调递减下去，则与假设矛盾；所以存在，使得. 若从开始，一直单调递增下去，则与假设矛盾；所以存在，使得. 由，因为存在包含的长度为的“单调片段”，所以.考虑，显然包含的最长“单调片段”为，其长度为.因为，这与已知：存在包含的长度为的“单调片段”，矛盾.故假设不成立，结论（*）成立. 当时，同理可证结论（*）成立.根据结论（*），为单调数列，则，的正负号都相同，于是当时，有当时，显然.综上所述，题目所给结论成立. 15分00↗极大值↘极小值↗