2021学年第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.2 余弦定理课后测评

人教B版（2019）必修第四册《9.1.2 余弦定理》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知中，角所对的边分别为，若，的面积为，则的周长为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）在中，，，分别为角，，的对边．已知 且，则

A.  B.  C.  D.

3.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知，，分别为三个内角，，的对边，已知，，，则

A.  B.  C.  D.

5.（5分）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则

A.  B.  C.  D.

6.（5分）在中，若，则

A.  B.  C.  D.

7.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，已知，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，若点在边上，且，则

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）对于，有如下判断，其中正确的判断是

A. 若，则为等腰三角形

B. 若，，，则符合条件的有两个

C. 若，则为等腰直角三角形

D. 若，则是钝角三角形

10.（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是

A. 若，则

B. 若，，，则三角形有两解

C. 若，则一定为等腰直角三角形

D. 若面积为，，则

11.（5分）中，，，面积，则边

A.  B.  C.  D.

12.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，若，则的面积可能为

A.  B.  C.  D.

13.（5分）在中，下列结论错误的有

A. ，则为钝角三角形

B. ，则为；

C. ，则为锐角三角形

D. 若：：：：，则 ： ： ：：

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则的取值范围为______．

15.（5分）中，，是它的两边，是的面积，若，则的形状为______．

16.（5分）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则 ______ ．

17.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，为边上的高，在以下结论中： 

； 

； 

； 

． 

其中正确结论的序号是______．

18.（5分）在中，如果，那么这个三角形的最小角是________.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在中，角，，所对应的边分别为，，，，时． 

若，求； 

记 

①当为何值时，是直角三角形； 

②当为何值时，使得有解．写出满足条件的所有的值

20.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且

求角；

若，的面积为，求的值．

21.（12分）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据在同一水平面内，求，之间的距离． 

22.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，满足

求角的大小；

若，的面积为，求的大小

23.（12分）已知向量，，记函数． 

求不等式的解集； 

在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若且，，成等差数列，，求的面积的值．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】 

此题主要考查了余弦定理，考查了解三角形的实际应用，属于中档题； 

根据题意得到，由余弦定理得，，，即可得解. 

解：由题意得，所以， 

在中，由余弦定理得， 

所以，，， 

故选 

2.【答案】D;

【解析】 

此题主要考查解三角形，涉及正余弦定理以及三角形的面积公式，属中档题. 

根据题意得到进而得到，再根据余弦定理得到即可得解. 

解：， 

由正弦定理得：， 

即， 

， 

可得， 

，， 

， 

，解得， 

由余弦定理得：， 

，则， 

故选 

3.【答案】C;

【解析】 

此题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于较易题. 

由余弦定理得出，，最后由面积公式得出面积. 

解：，，由余弦定理， 

可得，面积， 

故选

4.【答案】B;

【解析】解：由正弦定理得，又， 

则， 

整理得，又，则， 

则，即，则 

故选： 

先由正弦定理及余弦和角公式求得，再由余弦定理求出即可． 

此题主要考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．

5.【答案】B;

【解析】解：，，， 

 由余弦定理知． 

故选：． 

直接根据余弦定理即可求解． 

此题主要考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．

6.【答案】C;

【解析】解：  

由余弦定理的推论得：  

又为三角形内角  

故选C  

该题考查的知识点是余弦定理，观察到已知条件是“在中，求角”，固这应该是一个解三角形问题，又注意到给出的三角形三边的关系，利用余弦定理解题比较恰当．  

余弦定理：  

，  

，  

． 

余弦定理可以变形为：  

7.【答案】B;

【解析】解：在中，，则 

所以 

故选： 

利用余弦定理解答． 

此题主要考查了余弦定理，考查计算能力，属于基础题．

8.【答案】C;

【解析】解：因为， 

所以为等腰三角形， 

因为，，． 

由条件可得， 

所以，解得， 

所以， 

可得． 

故选：． 

由条件利用有道理可求得，由于，解得的值，进而可求的值，即可得解的值． 

这道题主要考查了余弦定理，等腰三角形的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

9.【答案】AD;

【解析】解：，在三角形内，若，则，为等腰三角形，故正确， 

，由余弦定理可得，唯一，只有一解，故错误； 

，在中，，由正弦定理，得，即，所以或， 

即或，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故错误； 

，若，则根据正弦定理得，为钝角， 

是钝角三角形，故正确； 

综上，正确的判断为 

故选： 

分别根据正弦定理余弦定理进行求解判断即可． 

此题主要考查三角形形状的判断，根据正弦定理余弦定理进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．

10.【答案】AD;

【解析】解：：由正弦定理得，因为，所以，则，故正确；因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以有一解，故错误； 

C.因为，所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 

D.因为面积为，所以，即，因为，所以故正确， 

故选： 

运用正弦定理结合条件逐项计算求解可判断即可． 

此题主要考查正余弦定理的应用，属中档题．

11.【答案】AB;

【解析】解：中，，，面积， 

所以， 

解得， 

即， 

当时，， 

解得， 

当时，， 

解得 

故选： 

直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 

此题主要考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

12.【答案】BD;

【解析】 

此题主要考查解三角形，利用余弦定理以及三角形面积公式求解. 

由条件和余弦定理，化角为边，可得到，得到三角形为等边三角形或直角三角形，分别求面积即可. 

解：， 

化简得， 

所以或， 

若，又因为，则三角形为正三角形， 

所以， 

若，三角形为直角三角形，，， 

所以， 

故选

13.【答案】BCD;

【解析】 

此题主要考查了解三角形，属于中档题. 

利用正弦定理以及余弦定理判断四个选项的正误即可． 

解：对于，若，则， 

即有，即为钝角，故对； 

对于，若，，即， 

则，即有，故错； 

对于，若，则，即， 

即为锐角，不能说明，也是锐角，故错； 

对于，若，则，，， 

故故错. 

故选： 

14.【答案】[，2）;

【解析】解：Ⅰ由已知得， 

化简得，整理得，即， 

由，可求，， 

根据余弦定理，得． 

又由，知，可得， 

所以的取值范围是． 

故答案为：． 

由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由，可求，进而可求的值．根据余弦定理，得，又，可求范围，进而可求的取值范围． 

这道题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．

15.【答案】等腰直角三角形;

【解析】解：在中，，是它的两边长，是的面积，，可得． 

再由，可得，故有，且，可得：是等腰直角三角形，  

故答案为：等腰直角三角形． 

由条件可得，可得再由，求得，故有，且，由此即可判断是等腰直角三角形． 

这道题主要考查了三角型的面积公式，正弦函数的值域，基本不等式的应用，属于中档题．

16.【答案】2;

【解析】解：，  

，  

，可得：，，  

，，  

，  

解得：． 

故答案为：． 

利用正弦定理化简已知，结合余弦定理，可得，化简可求，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理即可解得的值．  

此题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17.【答案】③④;

【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，为边上的高，在以下结论中： 

，故不正确， 

，故不正确， 

，故正确， 

，故正确， 

综上可知正确， 

故答案为： 

根据向量加法的三角形运算法则，得到两个向量的数量积，得到不正确，根据向量数量积的意义得到不正确，正确，根据向量的减法和余弦定理得到正确， 

该题考查向量在几何中的应用，本题解答该题的关键是熟练向量的定义和向量数量积的性质和运算律．本题是一个中档题目．

18.【答案】 

;

【解析】

此题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查. 

由题意可设：，，， 

所以最小，利用余弦定理可求得，结合范围，解得角即可. 

解：， 

可设：，，， 

所以最小，利用余弦定理可得： 

由，可得： 

故答案为

19.【答案】解：（1）若a=7，b=5，A=， 

由余弦定理可得=+-2bccosA，即49=25+-2×5c×，整理可得：-5c-24=0， 

又c＞0， 

解得c=8． 

（2）由，可得c=ka， 

①若∠B为直角，则tanA=，所以k==； 

若∠C为直角，则sinA=，所以k==； 

故k的值为，或． 

②由正弦定理k===sinC， 

因为C∈（0，），所以sinC∈（0，1]，故k∈（0，]．;

【解析】 

利用余弦定理列式即可求解的值； 

①分为直角，为直角讨论即可求解；②利用正弦定理，将表示成角的函数求值域． 

此题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．

20.【答案】解：由，得， 

又由正弦定理，知： 

则， 

所以， 

所以， 

又，所以，    

则，所以 

由的面积为及，得，即， 

又，从而由余弦定理得，    

所以， 

所以;

【解析】由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦定理化简已知等式可得，即可解得角的值； 

利用三角形面积公式可求，利用余弦定理可得，继而得出的值. 

此题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用.

21.【答案】解：连接， 

在， 

． 

， 

在三角形中， 

． 

;

【解析】此题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题． 

连接，利用勾股定理求出，然后在三角形中利用余弦定理求解即可． 

22.【答案】解：在中， 

， 

由正弦定理可得：， 

， 

又中， 

由，，， 

得 

由余弦定理得， 

;

【解析】此题主要考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用正弦定理即可得出．根据余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

23.【答案】解：（1）∵向量，， 

∴f（x）==sinxcosx+co（x+）=sin2x+=sin2x-cos2x-sin2x+=sin（2x-）+， 

∴不等式f（x）＞，可化为：sin（2x-）＞-， 

∴2kπ-＜2x-＜2kπ+，k∈Z， 

∴kπ＜x＜kπ+，k∈Z， 

∴不等式的解集为：（kπ，kπ+），k∈Z． 

（2）由（1）可知，f（）=sin（A-）+=， 

∴sin（A-）=， 

又∵0， 

∴-＜A-＜，可得A-=，即A=， 

∴由正弦定理，余弦定理及b=1，可得， 

∴，解得a=c=1， 

∴△ABC为正三角形，可得S△ABC=absinC==．;

【解析】 

由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求，由已知不等式可化为：，进而利用正弦函数的图象和性质可求解集． 

由可知，结合范围，可得，由正弦定理，余弦定理及，解得，根据三角形的面积公式即可求解． 

此题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质以及正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题